主要内容
围绕原点旋转图形，度数是90度的倍数
学习如何在给定图形和给定对应原点旋转 90° 的倍数的基础上，画出图像。
介绍
我们将在本文中练习平移图形的艺术. 用数学的语言来说, 我们将会学习如何根据给定的旋转来绘制相应的图像.
本文重点介绍了以90, degrees及其倍数为单位的旋转, 包括正向 (逆时针) 和反向 (顺时针).
第一部分: 旋转 90, degrees, 180, degrees, 和 minus, 90, degrees
让我们来学习一个例子。
我们想找到点 A, left parenthesis, 3, comma, 4, right parenthesis关, 于, 原, 点, 旋, 转, 90, degrees后的对应点A, prime.
让我们从把画图开始. 正向旋转是逆时针的, 所以我们的旋转将看起来像这样:
很棒, 我们在图上估计出了 A, prime 的位置.现在我们需要找到它的确切坐标. 有两种方法可供使用.
解法 1: 做图方法
我们可以画出一个矩形, 它的相对的两个顶点分别在原点和A点.
旋转 90, degrees 就是将矩形沿着边推倒:
现在我们看到点 A, left parenthesis, 3, comma, 4, right parenthesis 经过旋转后的图像是 A, prime, left parenthesis, minus, 4, comma, 3, right parenthesis.
旋转位于坐标轴上的点更容易, 这帮我们找到了A的对应点:
| 点 | left parenthesis, 3, comma, 0, right parenthesis | left parenthesis, 0, comma, 4, right parenthesis | left parenthesis, 3, comma, 4, right parenthesis |
|---|---|---|---|
| 对应点 | left parenthesis, 0, comma, 3, right parenthesis | left parenthesis, minus, 4, comma, 0, right parenthesis | left parenthesis, minus, 4, comma, 3, right parenthesis |
解法 2: 代数方法
让我们研究一下 A 和 A, prime:
| 点 | x-坐标 | y-坐标 |
|---|---|---|
| A | start color #01a995, 3, end color #01a995 | start color #aa87ff, 4, end color #aa87ff |
| A, prime | minus, start color #aa87ff, 4, end color #aa87ff | start color #01a995, 3, end color #01a995 |
注意一个有趣的现象: A 的 x-坐标变成了A, prime的 y-坐标 , 并且A的 y-坐标的相反数 变成了A, prime的 x-坐标 .
我们可以将其用如下的数学语言表示:
事实证明这个结论对任意一点都成立, 不仅仅是 A. 下面是几个例子:
此外, 事实证明旋转 180, degrees 或 minus, 90, degrees 具有相同的规律:
我们可以通过将其坐标带入合适的公式来旋转任意一点.
轮到你啦！
问题 1
问题 2
做图方法 vs. 代数方法
一般而言, 每个人都可以自由选择使用任意一种方法。萝卜白菜各有所爱!
代数方法工作量少所需时间少, 但是需要记住那些规律. 作图法方便记忆, 但是可能需要花更长的时间来解除答案.
第二部分: 扩展到 90, degrees 的任意倍数
让我们来学习一个例子。
我们想找到 点 D, left parenthesis, minus, 5, comma, 4, right parenthesis 绕原点旋转 270, degrees 后的对应点D, prime .
解答
因为旋转 270, degrees 和旋转三个 90, degrees 等同, 我们可以用作图法连续进行三次 90, degrees 的旋转:
等到! 我们其实可以旋转 minus, 90, degrees 而不是 270, degrees. 这两个旋转操作是 等同的. 看这里:
出于同样的原因, 我们可以使用规律 R, start subscript, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, comma, minus, 90, degrees, end subscript, left parenthesis, start color #01a995, x, end color #01a995, comma, start color #aa87ff, y, end color #aa87ff, right parenthesis, equals, left parenthesis, start color #aa87ff, y, end color #aa87ff, comma, minus, start color #01a995, x, end color #01a995, right parenthesis:
让我们来学习另外一个例题
我们想找到 点 left parenthesis, minus, 9, comma, minus, 7, right parenthesis 绕原点旋转 810, degrees 后的对应点 .
解答
旋转 810, degrees 等同于连续旋转360, degrees两次再旋转90, degrees一次 (因为 810, equals, 2, dot, 360, plus, 90).
旋转 360, degrees 后任意一点都将与自己重合. 换句话说, 什么都不会改变.
所以旋转 810, degrees 就相当于旋转 90, degrees. 所以, 我们可以利用公式 R, start subscript, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, comma, 90, degrees, end subscript, left parenthesis, start color #01a995, x, end color #01a995, comma, start color #aa87ff, y, end color #aa87ff, right parenthesis, equals, left parenthesis, minus, start color #aa87ff, y, end color #aa87ff, comma, start color #01a995, x, end color #01a995, right parenthesis:
轮到你啦！
问题 1
问题 2
第三部分: 旋转多边形
让我们来学习一个例子。
有如下四边形 D, E, F, G . 让我们来画其旋转R, start subscript, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, comma, 270, degrees, end subscript后的对应图形D, prime, E, prime, F, prime, G, prime.
解答
和平移类似, 当我们旋转一个多边形时,我们需要对其所有定点进行旋转操作,然后把顶点的对应点连接来找到对应的多边形.