主要内容

课程: 高中几何 > 单元 1

课程 4: 旋转

围绕原点旋转图形，度数是90度的倍数

学习如何在给定图形和给定对应原点旋转 90° 的倍数的基础上，画出图像。

介绍

我们将在本文中练习平移图形的艺术. 用数学的语言来说, 我们将会学习如何根据给定的旋转来绘制相应的图像.

本文重点介绍了以

90^{\circ}

及其倍数为单位的旋转, 包括正向 (逆时针) 和反向 (顺时针).

第一部分: 旋转 $90^{\circ}$ ‍, $180^{\circ}$ ‍, 和 $- 90^{\circ}$ ‍

让我们来学习一个例子。

我们想找到点

A (3, 4)

关 于 原 点 旋 转 90^{\circ}

后的对应点

A^{'}

让我们从把画图开始. 正向旋转是逆时针的, 所以我们的旋转将看起来像这样:

很棒, 我们在图上估计出了

A^{'}

的位置.现在我们需要找到它的确切坐标. 有两种方法可供使用.

解法 1: 做图方法

我们可以画出一个矩形, 它的相对的两个顶点分别在原点和

A

点.

旋转

90^{\circ}

就是将矩形沿着边推倒:

现在我们看到点 $A (3, 4)$ ‍ 经过旋转后的图像是 $A^{'} (- 4, 3)$ ‍.

旋转位于坐标轴上的点更容易, 这帮我们找到了

A

的对应点:

点	$(3, 0)$ ‍	$(0, 4)$ ‍	$(3, 4)$ ‍
对应点	$(0, 3)$ ‍	$(- 4, 0)$ ‍	$(- 4, 3)$ ‍

解法 2: 代数方法

让我们研究一下

A

和

A^{'}

点	$x$ ‍-坐标	$y$ ‍-坐标
$A$ ‍	$3$ ‍	$4$ ‍
$A^{'}$ ‍	$- 4$ ‍	$3$ ‍

注意一个有趣的现象:

A

的

x

-坐标变成了

A^{'}

的

y

-坐标 , 并且

A

的

y

-坐标的相反数 变成了

A^{'}

的

x

-坐标 .

我们可以将其用如下的数学语言表示:

$R_{(0, 0), 90^{\circ}} (x, y) = (- y, x)$ ‍

事实证明这个结论对任意一点都成立, 不仅仅是

A

. 下面是几个例子:

此外, 事实证明旋转

180^{\circ}

或

- 90^{\circ}

具有相同的规律:

$R_{(0, 0), 180^{\circ}} (x, y) = (- x, - y)$ ‍

$R_{(0, 0), - 90^{\circ}} (x, y) = (y, - x)$ ‍

我们可以通过将其坐标带入合适的公式来旋转任意一点.

轮到你啦！

问题 1

画出点 $B (- 7, - 3)$ ‍ 旋转 $R_{(0, 0), - 90^{\circ}}$ ‍后的对应点.

问题 2

画出点 $C (5, - 6)$ ‍ 旋转 $R_{(0, 0), 180^{\circ}}$ ‍ 后的对应点.

做图方法 vs. 代数方法

一般而言, 每个人都可以自由选择使用任意一种方法。萝卜白菜各有所爱!

代数方法工作量少所需时间少, 但是需要记住那些规律. 作图法方便记忆, 但是可能需要花更长的时间来解除答案.

第二部分: 扩展到 $90^{\circ}$ ‍ 的任意倍数

让我们来学习一个例子。

我们想找到点

D (- 5, 4)

绕原点旋转

270^{\circ}

后的对应点

D^{'}

解答

因为旋转

270^{\circ}

和旋转三个

90^{\circ}

等同, 我们可以用作图法连续进行三次

90^{\circ}

的旋转:

等到! 我们其实可以旋转

- 90^{\circ}

而不是

270^{\circ}

. 这两个旋转操作是 等同的. 看这里:

出于同样的原因, 我们可以使用规律

R_{(0, 0), - 90^{\circ}} (x, y) = (y, - x)

$R_{(0, 0), 270^{\circ}} (- 5, 4) = (4, 5)$ ‍

让我们来学习另外一个例题

我们想找到点

(- 9, - 7)

绕原点旋转

810^{\circ}

后的对应点 .

解答

旋转

810^{\circ}

等同于连续旋转

360^{\circ}

两次再旋转

90^{\circ}

一次 (因为

810 = 2 \cdot 360 + 90

旋转

360^{\circ}

后任意一点都将与自己重合. 换句话说, 什么都不会改变.

所以旋转

810^{\circ}

就相当于旋转

90^{\circ}

. 所以, 我们可以利用公式

R_{(0, 0), 90^{\circ}} (x, y) = (- y, x)

$R_{(0, 0), 810^{\circ}} (- 9, - 7) = (7, - 9)$ ‍

轮到你啦！

问题 1

画出点 $E (8, 6)$ ‍ 旋转 $R_{(0, 0), - 270^{\circ}}$ ‍ 后的对应点.

问题 2

什么样的旋转操作和 $R_{(0, 0), - 990^{\circ}}$ ‍是等同的?

第三部分: 旋转多边形

让我们来学习一个例子。

有如下四边形

D E F G

. 让我们来画其旋转

R_{(0, 0), 270^{\circ}}

后的对应图形

D^{'} E^{'} F^{'} G^{'}

解答

和平移类似, 当我们旋转一个多边形时,我们需要对其所有定点进行旋转操作,然后把顶点的对应点连接来找到对应的多边形.

轮到你啦！

画出下列图形 $△ H I J$ ‍, 经 $R_{(0, 0), 90^{\circ}}$ ‍旋转后的对应图形.

让我们来找到所有顶点的对应点.

我们可以套用代数公式

R_{(0, 0), 90^{\circ}} (x, y) = (- y, x)

来解决这个问题.

顶点 $(x, y)$ ‍	对应点 $(- y, x)$ ‍
$H (- 3, 4)$ ‍	$(- 4, - 3)$ ‍
$I (7, - 2)$ ‍	$(2, 7)$ ‍
$J (- 6, - 5)$ ‍	$(5, - 6)$ ‍

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高中几何

课程: 高中几何 > 单元 1

介绍

第一部分: 旋转 90∘‍ , 180∘‍ , 和 −90∘‍

让我们来学习一个例子。

解法 1: 做图方法

解法 2: 代数方法

轮到你啦！

问题 1

问题 2

做图方法 vs. 代数方法

第二部分: 扩展到 90∘‍ 的任意倍数

让我们来学习一个例子。

解答

让我们来学习另外一个例题

解答

轮到你啦！

问题 1

问题 2

第三部分: 旋转多边形

让我们来学习一个例子。

解答

轮到你啦！

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第一部分: 旋转 $90^{\circ}$ ‍, $180^{\circ}$ ‍, 和 $- 90^{\circ}$ ‍

第二部分: 扩展到 $90^{\circ}$ ‍ 的任意倍数