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主要内容

刚性变换入门

变换操作看起来是什么样的? 本课中你将了解到什么样的变换是刚性变换而什么不是。

视频字幕

在这个视频里我想介绍的 是数学里的变换的概念 估计你已经习惯了日常对话中的这个词 变换表示某种东西在改变 从一个东西变换到另一个东西 在数学里变换是什么意思呢? 它可以表示你将数学里 的某个东西然后改变成 数学里的另一样东西,就是这个意思 这是关于将 一组坐标或者一组点 然后把它们改变成不同的 一组坐标或一组点 比如说,这里 是一个我们画的四边形 在平面坐标系里 这是一组点,不仅仅是代表 顶点的四个点 还有这些边上的点 这里有很多点 你可以说这里有 无数个点 在这个四边形上 这里这个点x等于0 y等于负4‘ 这是一个在四边形上的点 现在我们可以对这个进行一个变换 我要给你展示的第一个是平移 这表示我将所有的点朝同一 个方向移动 相同的距离 我就直接用可汗学院的平移工具了 我们来平移这个 我可以选其中一个顶点 然后注意到当我把这个向右平移了2之后 这里每一个点,不仅是橙色的点 都向右平移了2 这个点向右平移了2 这里这个点向右平移了2 每个点都朝着同一个方向 移动的同样的距离,这就是平移 现在假如我放到这里的话,所有的点 都向右并且向上移动了1 它们都朝同一个方向 移动了同样的距离 这是平移,但是你可以想象 平移不是唯一的变换 实际上有无数种可能 有无数种不同的变换 比如说,我可以做旋转 这里我有另一组点 由四边形来表示 我们可以称其为BCDE,然后我可以旋转它 然后它会绕着一个点旋转 比如说,我可以将其围绕点D旋转 一开始是这样 看看这行不行 我可以这样旋转 如果一开始是这样,我可以将其旋转90度 我可以将其旋转90度 我可以将其旋转90度 这看着接近90度了 所以原本的这组点 让我移动了 相对于这个点让我旋转了 90度 所以这个点现在对应这个点 这个点现在对应这个点 这里我只选择了顶点来说 因为这便于我们思考 这个点现在对应这个点 旋转的中心点 因为D是旋转的中心点 这个点其实没有移动 然后给你介绍点术语 变换之后的这组点叫做 这个变换的像 所以这是四边形BCDE 我进行了逆时针90度 围绕点D的旋转 所以这组新的点是原来 的四边形变换后的像 让我撤回这个 我不是非得绕着原本在 四边形上的点进行旋转 我可以绕着原点旋转 我可以这样 注意到这是一个不同的旋转了 这是一个不同的旋转了 我可以围绕任意一点进行旋转 现在我们再看一个变换 这个是反射 你知道日常生活里的反射是什么了 你可以想象一张图在 镜子里或者水里的反射 这正是我们要做的 我们会以一条线进行反射 这是一个 不规则的五边形,让我们来进行反射 让我 画一条线 我可以饶不同的线进行反射 那我们来以这条线来反射 那以某样东西进行反射是什么意思呢? 我通常这么想 我们会得到它的镜像 你可以想象这是对称轴 然后原本的形状和它的像会 关于这条线对称 我们来进行反射 看,我们有一个镜像了 这个点距离这条线这么远 然后这是它对应的像 在直线的另一边,但是距离相等 这个点距离这条线这么远 然后这个点距离相等 但是在另一边 现在,我刚给你展示的变换 平移,对称和旋转 都是被称为刚体变换 同样你可以想想在 日常生活里刚体是什么意思 这表示它不是柔软的 表示你不可以拉伸 或者将其放大缩小,它会保持原本的形状 这就是刚体变换 的本质 如果你想要用数学的说法 那刚体变换就是 长度和角度都不变的变换 你可以看见在这个变换里 这个点和这个点之间的距离 T和R之间 然后它们的像 之间的距离是一样的 这个角RTY 这个角 如果你看在像里面对应的角 这个是同样的大小 平移的话也是一样 你可以将这些想象成刚体 你不能拉伸它们,它们不是柔软的 它们会保持原本的形状 那哪些是 非刚体变换的例子呢? 你可以想象按比例放大或缩小 假如我把这个按比例放大 这些角度应该是保持不变 但是长度不是一样的了 这就是一个非刚体变换 假如我只拉伸其中一边 或者说我拉扯这个点 然后其它点保持不变 那这是一个非刚体变换 希望你听懂了 这非常有意思 当你用某个艺术创作软件时 其实你用到的很多电脑图像 或者当你玩电脑游戏时 大部分游戏实际上都是在做变换 有时候是二维的,有时候是三维的 当你学一些更高级的数学时 特别是线性代数 会有专门关于变换的一部分 实际上,那些有着很好的 图形处理器的电脑 一个图形处理器其实就是 非常擅长数学变换的 一个硬件 所以你才能沉浸在 一个三维虚拟现实里等等 这是非常有趣的东西