加菲尔德的勾股定理证明

我们将要在这个视频内 学习一种勾股定理的证明 最早被发现，或我们所知道最早 在1876年被詹姆斯·加菲尔德发现。 有趣的是， 他并不是一名专业的数学家。 你有可能知道詹姆斯·加菲尔德 是美国第20位总统。 他被选为总统。 他在1880年被选为总统，并在1881年成为总统。 他在做美国众议院议员时 完成了这个证明。 有趣的是， 这表明亚伯拉罕·林肯不是唯一一位 特别对几何感兴趣的 美国政客或总统。 加菲尔德意识到，如果你 构造一个直角三角形 我正在在这里努力构造 一个直角三角形。 假设这一边的长度为b。 假设这一边的长度为a， 再假设直角三角形的斜边 的长度为c。 我刚刚构造完了一个直角三角形， 然后我再标出来这个直角， 使它很明显是个直角三角形。 他基本上把这个直角三角形翻转和旋转， 构造了一个第一个三角形的全等三角形。 所以让我把它画出来。 所以这里有一个长度b，它与长度a 是共线的。 它们在同一条直线上。 它们不重叠。 所以这是一个长度为b的线， 然后还有一边长度为 我把它画得高一点，长度为b。 然后长度为a的边与它形成一个直角。 长度为a的边与它形成一个直角。 然后还有长度为c的边。 所以我们需要思考的第一件事就是 这两边之间的夹角是什么？ 这个未知的角度是什么？ 这个未知的角度会是什么？ 它看起来像某个角度，但是我们看看 能不能给自己证明它真的是 我们想的那样。 如果我们看原来的三角形 把这个角度称为θ， 这边的这个角度是什么， 这个a边和c边的夹角是多少度？ 这个角的度数是多少？ θ加上这个角度必须等于90。 因为你把它们两个加起来等于90。 然后这里还有一个90。 你会得到180度为三角形的 内角和。 所以这两个加起来必须等于90。 这个角度是90减θ。 如果这个三角形看起来是全等的 我们构造它为一个全等的三角形 这个的对应角 是这边这个角。 所以这个也是θ，这边的是 90减θ。 所以如果已知这是θ， 这是90减θ，那么这个角度是什么？ 他们一共是180度。 所以θ加90减θ 加未知角度等于180度。 两个θ消掉了。 θ减θ。 然后就得到90加未知角度等于180度。 从两边减去90，你会得到 未知角等于90度。 所以目前很顺利。 所以我把这个标出来， 等一下会对我们有很大的用处。 这将会非常有用。 所以我们现在确定这是90度。 这是一个直角。 我们现在需要做的是 构造一个梯形。 a与下面的b平行， 以这样的构造方式，这就是 一个边。 这边垂直向上，我们再 把这两边连接。 我们有几种不同的方法 去考虑梯形的面积。 一，我们可以把它当作一个梯形 并直接算它的面积； 二，我们也可以把它当作几个组成部分之和。 让我们先把它当作一个梯形。 关于梯形的面积，我们知道什么？ 我们知道梯形的面积是 梯形的高度，也就是a+b， 那是梯形的高度。 我们这样想， 乘以上底边和下底边的平均值。 上底边和下底边的平均值。 乘1/2的a+b。 我们把高度 乘以下底边和上底边的平均值， 对，下底边和上底边的平均值， 就会得到梯形的面积。 那我们怎么能用它的 组成部分来计算面积呢？ 无论我们怎样计算面积， 只要我们做的事情是对的，我们能够得到 同样的结果。 所以我们还可以怎样算出面积？ 我们可以把这部分当作两个直角三角形的面积。 其中一个的面积是1/2的a乘b， 但是有两个。 我用同样的蓝色写出b。 但是有两个这种直角三角形。 所以我们把它乘以二， 得到2乘1/2的a乘b。 这考虑到下面的直角三角形 和上面的这个（直角三角形）。 那更大的三角形的面积是多少？ 我要用绿色填充它。 这个大的面积是多少呢？ 其实挺直接的。 就是1/2的c乘c。 所以加上1/2的c乘c，也就是1/2的c的平方。 那我们把这个简化，看看会得到什么， 你有可能会猜到我们会得到什么。 我们看看会得到什么。 我们可以重新排序一下。 我来重新排序一下。 所以1/2的a+b的平方 等于2乘1/2， 也就等于一。 所以它等于a乘b，加1/2的 c的平方。 我不是很喜欢这些乱糟糟的1/2， 所以我们可以把等式的两边乘以2。 我要把等式的两边乘以2。 等式左边会得到a+b的平方。 我把它写出来。 等式右边会得到2ab。 我尽量用同样的颜色去写。 然后，2乘1/2的c的平方 就是c的平方，加c的平方。 如果你把a+b乘a+b展开， 会得到什么呢？ a+b的平方是什么？ 它就是a的平方，加2ab， 加b的平方。 然后右边是 等于这边的这些。 每次换颜色对我来说有点难， 所以我就复制粘贴一下。 它还是等于右边。 这挺有意思的。 我们怎样可以简化这些？ 有没有任何能从两边减去的东西？ 当然有的。 左边有一个2ab。 右边有一个2ab。 我们从两边减去2ab。 如果从两边减去2ab，我们还剩下什么？ 我们剩下的是勾股定理。 所以剩下来的就是a的平方加b的平方等于 c的平方。 非常，非常有意思。 我们要为这一切感谢美国的 第20位总统，詹姆斯·加菲尔德。 这真的非常令人兴奋。 勾股定理在詹姆斯·加菲尔德前 已经存在了几千年， 然后他折腾折腾就为此做出了贡献， 在他还是一名美国众议院议员时。