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30-60-90 三角形例题
使用对 30-60-90 三角形的理解来解决最初看起来很有挑战性的问题. 由 Sal Khan 创建
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在这我们有一个长方形 我们假设AB的长度为1 把它标记在这里AB的长度等于1 条件告诉我们BE和BD把角ABC三等分 所以BE和BD三等分角ABC 三等分的意思是把一个角分成三个大小相同的角 所以这个角等于这个角 也等于那个角 题目让我们求的是 三角形BED的周长 所以要靠中间这个三角形和那边那个长方形 一开始这题看起来好像挺难的 因为你不知道长方形的宽 怎么着手呢 题目只给了一条边的长度 其实题目给了我们许多信息 在知道这是个长方形的前提下 我们有4条边和4个角 所有的对边都是平行的 所有的角都是直角 这些信息已然相当足够了 在确定这是个长方形的情况下 我们肯定知道的一件事是 长方形的对边长度相等 这条边的长度是1所以那条边长也是1 另一个已知的条件是这个角被三等分了 现在我们知道这个角的角度是90度 这是个直角所以角度是90度 所以当它被三等分的时候 我们可以知道这个角的角度是30度 这边这个角也是30度 那边那个角同样也是30度 现在要处理的是几个内角为30度60度的直角三角形 所以这个角的肯定是60度 那个角肯定也是60度 在这个三角形里一个角是30度另一个角是90度 那这个角肯定是60度 因为三角形内角和为180度 这是个内角为30度和60度的直角三角形 这是个内角为30度和60度的直角三角形 然后我们可以得出这个三角形的尺寸 尽管它不是个直角三角形 但是根据我们所掌握的这种三角形的知识 如果我们只知道一条边的边长 我们实际上可以得出另外两条边的边长 比如这条边是最短的那条边 这条边和30度角相对 如果30度角所对的边的边长是1 那么60度角所对的边的边长就是根号3 所以这条边的边长是根号3 这个非常有用 因为现在我们已经得出 两条直角边的边长 现在我们需要用到有关这样的三角形的知识 如果你们觉得这有点玄乎 就是我怎么算出了这个边长 我建议你们去看一下视频 我们知道在这样的直角三角形中 三条边的比是1比根号3比2 所以30度角所对的这条边是1 这条边就是根号3乘以1 这条斜边就是2乘以1 所以这个条边的边长就是2乘以 那条边的边长所以就是2乘以1得到2 这个非常有意思 让我们看看我们还能用那条边做什么 类似的事情 现在边长为1的这条边不是30度角的对边 这条边现在是60度角所对的边 60度角所对的边就是这条边 所以如果我们再一次拿这条边乘以根号3 我们应该能够得到这条边的边长 这个是60度角记住它就是这个 这条边是60度角所对的边 所以这条边是那条边的根号3分之1 让我把它写下来根号3分之1 我能够求得这条边长的理由是 不管这条边边长是多少我都拿它乘以根号3 这样就能求到这条边了 还能求到60度角的对边 或者可以拿60度角的对边除以根号3 这样就能得到那条最短的边即30度角的对边 我拿60度角的对边除以根号3 就得到了这条边 然后斜边的边长永远是30度角所对边 边长的两倍 所以这条是30度角的对边 斜边的边长永远是这条边边长的两倍 所以这条是30度角的对边 斜边的边长永远是这条边边长的两倍 所以斜边的边长是根号3分之2 现在我们的进展很不错 接下来我们要想法子求出里面这个三角形 的周长 我们已经得出一条边的长度是2 我们也得出另一条边长是根号3分之2 然后我们只需要再求出ED的长度即可 我们可以办到因为AD 等于BC 我们知道我们要算的 这个长度是根号3 就是这条边的边长是根号3 如果AE是根号3分之1的话 那ED的长度就是根号3分之 根号3减1 就是这个长度减这个长度 现在再来求周长就很容易了 我们只需把它们加起来再化简就行了 所以周长是2 先让我把周长的式子写下来 三角形BED的周长等于 我就不想把这个单词拼全 周长等于根号3分之2 加上根号3分之根号3减1 最后再加上2 现在还剩下工作的就是化简这些带根号的数字 你们可以拿出计算器 然后把它们近似成小数 让我们看看 我们现在有根号3分之2减根号3分之1 得出的结果是根号3分之1 2和3分1的平方 不错了应该是根号3分之2 减去根号3分之1是的根号3分之1 然后再加根号3加2 现在让我们看看能不能把它有理化 如果同时让分子 和分母乘以根号3 就会得到3分之根号3 加上根号3, 我可以把它重新写成加上3分之3乘以根号3 是的就是让根号3的分母分子都乘以3 最后在加上2 现在就是做加法的时间了 所以根号3加上3根号3 最后得到3分之4根号3加2 你可以把2放在最前面 有些人喜欢把有理数 写在无理数前面 总之我们已经算出了 三角形BED的周长