特殊直角三角形证明（第 1 部分）

在这个视频中我们要学习的 是一种非常经典的三角形叫做30-60-90三角形。 我希望你知道为什么我们这么称呼它。 这种三角形的三个内角分别是30度，60度 和90度。 我们在这个视频中要学习的的， 会在未来的学习中非常有用， 至少会在你以后见到的大部分几何课 以及三角函数课中用到， 我们要学习的就是30-60-90直角三角形中边的比例。 记住，斜边是90度正对的角。 如果斜边长度为x, 我们要做的就是证明这条最短的边 也就是30度角对应的边，长度为x/2, 然后60度边， 或者说是60度角对应的边 就等于根号下三倍的最短边。 所以根号下三乘以x/2,就是它的长度。 这就是我们要在这个视频中证明的。 在其他视频中，我们要应用这些规律。 我们要向你展示 这个规律应用很普遍。 现在，让我们从一个我们熟悉的三角形开始说起。 让我画一个等边三角形。 画三角形永远是最难的部分。 这是我画的最好的等边三角形了。 让我们称之为ABC。 我假设 这个三角形是等边三角形。 所以ABC是等边三角形。 如果这是等边的， 那就意味着所有的边都是相等的。 然后假如说这个等边三角形的边等于x. 所以这就等于x,这等于x, 这个也等于x. 我们也知道， 基于我们之前见到的所有等边三角形， 这些角 都等于60度。 所以这个等于60度， 这个等于60度， 然后这个也等于60度。 现在，我要做的就是 从这个顶点拉一条垂线下来。 所以我要画一条垂线， 根据定义，当我画垂线的时候 它将会和底边相交。 所以这就是一个直角三角形， 然后这里是一个直角。 这是一个很容易的证明 证明了这条线不仅是一条垂线， 不仅是垂直于底边， 也证明了这条线 等分了底边。 然后你可以暂停视频然后尝试自己证明一下。 这就很明了地 告诉了我们 这两个三角形是全等的。 让我给你证明一下。 让我们称这点为D。 所以三角形ABD和BDC,它们共享这条边。 所以这条边就是它们的公共边。 这个角等于这里的 这个角。 这个角等于这里的 这个角。 如果这两个是全等的， 那么第三个角也必然是全等的。 所以这个角 需要等于这个角。 所以它们两个是全等的。 然后你可以用 各种的全等证明方法。 我们可以用，边角边全等。 我们可以用角边角 任何一个来证明三角形ABD和三角形CBD全等。 这就像我说的 我们可以用角边角或者边角边， 任何一个来证明。 这个告诉了我们 这两个三角形对应的边 都是相等的。 具体来说就是AD等于CD。 它们是两个对应的边。 所以它们就彼此相等。 然后如果我们知道它们相等的话， 它们加起来等于x--记住， 这是一个边长为x的等边三角形 我们知道这条边就等于x/2。 我们知道这就等于x/2. 我们不只是知道这个， 我们也知道当我们画垂线的时候， 这个角就等于那个角， 两个角的加和等于60. 所以如果它们两个加起来相等且等于60的话， 那么它们每个就是30度， 这就是30度。 所以我们就已经展示了30-60-90三角形 一个有趣的知识点了，就是如果斜边-- 注意，我感觉我刚才没有提到。 画垂线的时候 我已经把这个等边三角形分成两个30-60-90三角形。 我们已经展示了如果90度对应的边 是x, 那么30度对应的边就是x/2. 这是我们在这里展示了的。 现在我们需要看第三条边， 也就是60度角对应的边。 我就用数字来代表了。 这是BD。 然后我们可以用勾股定理。 BD的平方加上这条边 也就是x/2的平方就等于 斜边的平方。 所以我们就得到BD的平方加上x/2的平方-- 这就是勾股定理-- 加上x/2的平方等于斜边的平方。 就等于x的平方。 解释一下， 我现在用的是这个三角形。 我用的是这个三角形， 然后我将会应用勾股定理。 这条边的平方加上这条边的平方 就等于斜边的平方。 让我们现在解一下BD。 你可以写成BD的平方加上四分之x的平方 加上四分之x的平方就等于x的平方。 你可以把这个看成4x^2/4 这是一样的。 如果你在等式两侧同时减去四分之一x^2 或者在两侧同时减去四分之一x的平方， 你得到BD的平方等于 4x^2除以4减去x^2除以4就等于四分之三x^2. 所以就等于四分之三x^2. 在两侧同取平方根。 你就会得到BD等于根号下3乘以x. 3的完全平方根等于根号3 x的完全平方根就是x, 除以4的完全平方就是2。 BD是六十度角的对应边。 我们就做完了。 如果斜边等于x, 那么30度角对应的边等于x/2, 60度角对应的边 就等于二分之根号下3乘以x, 或者根号下3乘以x除以2， 取决于你想如何表达。