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特殊直角三角形证明(第 2 部分)

证明 45-45-90 三角形的边的比率是 1:1:sqrt(2). Sal Khan 创建

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视频字幕

在上一个视频中,我们讲了 一个 30-60-90 的三角形的边长比 如果我们假设最长的边是 x , 如果斜边是 x , 那么最短的边长就是 x/2,而这两个边之间的边, 也就是60°角的对边, 边长是 3 的平方根 乘以 x/2。 或者用另一种方法考虑,如果最短的边是 1, 我先考虑最短的边,然后是长度居中的边, 然后是最长的边。 如果30°角对面的边长是 1, 那么60°角对面的边长 就是 它的3倍的平方根。 它就是 3 的平方根。 然后,斜边是它的2倍。 上一个视频中,我们从 x 开始, 我们说 30°对面的边是 x/2。 但是,如果 30° 对面的边是 1, 那么这条边就是它的 2倍。 它就是 2。 这里就是30°对面的边, 60°对面的边,和斜边,也就是 90°对面的边。 一般来说,如果你看到 任何三角形有这样的边长比,你就可以说,那是一个 30-60-90 的三角形。 或者,你看到一个三角形, 并且知道它是一个 30-60-90 的三角形,你就可以说 我知道怎样根据这个边长比 计算出一个边长。 比如,如果你看到这样的一个三角形, 它的边长是 2,2乘以3的平方根, 和 4, 再说一遍,2 :2乘以3的平方根, 就是 1:3的平方根 2 : 4 就是 1:2, 这个三角形一定是一个 30-60-90 三角形。 在今天 视频里, 我要给你们介绍另一类三角形, 在几何和三角学中,我们会遇到很多这样的三角形。 这就是 45-45-90 三角形。 另一种考虑的方法是, 如果有一个直角,而它又是一个等腰三角形, 显然,不会有一个直角三角形是等边三角形, 因为等边三角形的三个角 都是 60°。 但是可以有一个直角, 有一个直角三角形,它是等腰的。 等腰--我写下来-- 这是一个直角等腰三角形。 如果它是等腰三角形,就意味着 有两条边是相等的。 这是两条相等的边。 如果这两条边相等, 我们已经证明过,这两个底角是相等的。 如果我们叫这两个底角的角度是 x , 那么,我们知道, x + x + 90 一定是 180。 或者说,如果我们从两边减去 90, 就得到 x + x = 90 或者 2x =90。 如果两边除以 2, 就得到 x = 45°。 所以,一个直角等腰三角形也可以被叫做 -- 这是它更加典型的叫法-- 它也可以被叫做 45-45-90 三角形。 而在今天的视频中,要讲一讲 45-45-90 三角形的边长比。 就像我们曾经讨论过的30-60-90 三角形, 而这个实际上更简单。 因为对于一个 45-45-90 三角形,如果我们叫一个边长为 x , 另一个边长也是 x 。 然后,根据勾股定理, 来计算出斜边的长度。 那么,斜边的长度,我们叫它 c , 我们有, x 平方 + x 平方 这是这两个边长的平方, 我们把它们相加, 就等于 c 平方。 这完全是由勾股定理得到的。 我们得到,2 x平方等于 c 平方。 我们对两边取主根, 我想把它变成黄色。 两边取主根, 左边得到 2 的平方根, 也就是根号 2, x 平方的主根就是 x 。 你就有 x 乘以 2 的平方根 等于 c 。 如果你有一个直角等腰三角形, 不管这两条边是多长,它们长度相等。 这就是为什么说它是等腰的。 斜边的长度是 2 的平方根乘以它的长度。 因此,c 等于 x 乘以 2 的平方根。 比如,你有一个这样的三角形, 让我用另一种方法来画它, 每次都能让自己使用不同的方式 是有益处的。 如果我们看到一个三角形,这是90°, 像这样,45 和 45 , 你需要知道这两个角, 知道另一个角是什么, 如果我告诉你,这里这个边 是 3,我甚至不需要告诉你 另一条边也是 3, 这是一个等腰三角形, 所以这两条边是相等的。 你甚至不需使要用勾股定理, 如果你知道这个公式,它很有用。 就知道这个斜边,这个90°对面的边, 就是 2 的平方根 乘以任何一个边的长度。 所以它就是 3 乘以 2 的平方根。 那么它的斜边的长度比就是-- 对于一个 45-45-90 的三角形,或者叫直角等腰三角形, 它的边长的比例是: 一个腰的边长是 1, 另一个腰的边长长度有相同的长度, 有相同的长度,而斜边的长度是 2的平方根乘以任何一个腰的长度。 1 : 1 : 2 的平方根 这是 45-45-90, 这是它的边长比, 我们复习一下,如果你有一个 30-60-90 边长比就是 1: 根号3 : 2。 我们可以用它来解决很多问题。