主要内容

课程 3: 一个圆的展开方程

圆方程总结

复习圆方程的标准形式和展开形式，并求解它们的相关问题。

圆的标准方程是什么？

(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}

这是圆心为

(h, k)

，半径为

r

的圆的标准方程式。

圆也可以用展开形式来表达，即将标准形式的二项式平方展开，并合并同类项所得的结果。

例如，圆心为

(1, 2)

半径为

3

的圆的表达式为

(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 3^{2}

。这是它的展开形式：

\begin{aligned} (x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} & = 3^{2} \\ (x^{2} - 2 x + 1) + (y^{2} - 4 y + 4) & = 9 \\ x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y - 4 & = 0 \end{aligned}

想要深入了解圆的方程式？看看这个视频。

问题1.1

(x + 4)^{2} + (y - 6)^{2} = 48

这个圆的圆心是什么？

(

,

)

半径是什么？
如果必要，四舍五入答案到两位小数。

个单位

想要试试更多的类似习题？看看这个练习和这个练习.

问题2.1

一个圆半径

\sqrt{13}

及圆心为

(- 9.3, 4.1)

。

写出这个圆的方程式。

想要练习更多类似的题目，请点击这个练习。

要解读圆的展开形式方程式，我们应该用“配方”法把它写成标准形式。

例如，思考把展开方程

x^{2} + y^{2} + 18 x + 14 y + 105 = 0

改写成标准形式的步骤：

\begin{aligned} x^{2} + y^{2} + 18 x + 14 y + 105 & = 0 \\ x^{2} + y^{2} + 18 x + 14 y & = - 105 \\ (x^{2} + 18 x) + (y^{2} + 14 y) & = - 105 \\ (x^{2} + 18 x + 81) + (y^{2} + 14 y + 49) & = - 105 + 81 + 49 \\ (x + 9)^{2} + (y + 7)^{2} & = 25 \\ (x - (- 9))^{2} + (y - (- 7))^{2} & = 5^{2} \end{aligned}

现在我们可以看出圆心是

(- 9, - 7)

以及半径是

5

。

问题3.1

x^{2} + y^{2} - 10 x - 16 y + 53 = 0

这个圆的圆心是什么？

(

,

)

这个圆的半径是什么？

个单位

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