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主要内容

刚性变换: 不变的量

找出一些刚性变换后图形中所有不变的量以及变化的量.

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视频字幕

这个视频里我们将要做的是 想象一下,当一个形状发生变化时 它的哪些属性被保留了 哪些没有保留。 特别地,我们要在这个视频中考虑 旋转和反射。 这两个都是刚性变换 这意味着对应点之间的长度 不会改变。 举个例子,我们取这个圆A, 它的圆心是A点。 让它绕点P旋转。 点P是旋转中心。 为了方便讨论, 我们顺时针旋转它一个角度。 假设我们在这里结束 我们要这样旋转。 假设我们的圆心在这里。 我们的新圆,旋转后的图像 大概是这样的。 我正在用手画它 所以你别介意 这个圆画得不是很好。 这个圆大概是这样的。 所以,那些属性被清晰的保留下来了, 或者不是那么清晰 我们希望我们现在把它弄清楚 在刚性变换下保持不变的东西 比如这里的这个旋转。 这显然是一个旋转。 保存下来的东西 你有半径之类的东西 更具体地说,半径长度。 这里的半径是2 这里的半径 同样是2 比如周长。 如果半径保持不变 圆的长度, 也就是我们所说的周长 这是半径的函数。 我们说的是2乘以π乘以半径。 所以周长,当然,会保持不变。 实际上,这是从半径的长度保持不变 这一事实推导出来的。 当然,如果半径不变 面积也不变。 面积就是π乘以半径的平方。 它们有相同的半径。 这些都是相同的。 直觉上你也会觉得是对的。 那么什么没有被保存? 没有被保留 这对于一般的刚性变换 来说是正确的 它们会保持对应点之间的距离 如果我们改变一个形状 它们会保持像周长和面积这样的东西。 这种情况下,我可以设置周长。 我可以说周长。 周长 所以他们这类的属性会被保留 他们会保留下来角度 这张照片没有清晰的角度。 但是,他们会保留一些东西,比如角度。 但它们不保留的是坐标。 对应点的坐标 有时可能,但不总是。 例如,这里的圆心坐标 肯定会改变。 从坐标(-3,0)开始。 到这里, 我们到了坐标(-1,2) 所以坐标没有保留。 圆心的坐标 我们做一个 非圆形的形状。 我们要做一个不同类型的变换。 在这种情况下, 我们来做一个反射。 我们有一个四边形。 四边形ABCD 我们想知道在直线L上做映射时, 哪些属性保留了, 哪些没有保留。 我们写下来 在这种情况下我们做一个映射。 我们甚至可以想一下 在我们没有做映射之前 我们一起快速地做一下映射 我们在XYZ = X这条直线上做了映射。 它对坐标的作用是 它交换了X坐标和Y坐标。 但是因为这个视频的原因, 你们不需要知道这些。 所以 B'会在这里 A'会在这里 D'会在这里 考虑到C点在线上 在这个图像上,C‘不会改变 所以我们的新的四边形 按照直线L来映射 因为这个视频的原因 你不用知道我怎么快速的做出来 我真的是想让你看看 映射后会是什么样子 真正重要的是,你要了解 刚性变换之后发生了什么 它看起来是这样的。 映射 映射看起来应该是这样的 所以什么属性被保留了 总体上来讲,这里方便大家理解 对所有的刚性变化来讲,什么属性被保留了 周长 这实际上是我们用来定义 刚性变换的一种方法。 保持对应点之间 长度的变换。 角的测量 角的测量 举个例子,这个角 角A,会与这边的A’ 是一样的 边长,A和B之间的长度 会与A’和B’之间的距离 是一样的 周长 如果边长相同,角相同, 周长和面积 这些属性会被保留 就跟我们看到的旋转的例子 他们是刚性变换 这些是被保留下来的东西。 什么是没有被保留的? 没有被保留下来的 我们回到这个例子 我们看一下 我们可以看下,坐标没有被保留下来 我们看到 A’与A的坐标是不一样 B‘和B的坐标是不一样 C’,在这里案例里, 刚好与C的坐标一样 因为C刚好是在对称线 这条映射的线 但是D’肯定与D 是不一样的坐标 所以, 大部分的, 像坐标ABD 坐标A,B,D没有被保留 变换之后,或者说 图形有了不同的坐标 在变换之后 有一个被保留下来的坐标 是坐标C 因为它刚刚好在映射线上 你可以看看其他的竖向 他们是怎么联系起来的 不同的线段如何 与那些没有被变换的线 联系起来。 看一个例子, 在变换之前,CD与Y轴 是平行的 你可以在这边看到 但是在变换之后 C'D' 这个时候C'D' 已经不与Y轴平行 事实上,C’D跟X轴平行 所以,当图形有特定关系时 但是当图形变换之后 这种特定关系可能就不存在了 这些关系在变形之后 可能就不在了。