主要内容
精确定义旋转
阅读一段学生和老师关于如何精确定义旋转的对话。
下面是学生和老师的一段对话. 他们的目标是用精准的数学语言来表述旋转. 你会看到, 学生需要反复修改这些概念来使描述变得更加简洁. 享受吧!
老师:
今天, 我们将试着用通用的方式来描述旋转造成了什么.
假设我们绕点 P 旋转theta 度. 你将如何描述此旋转对另一个点 A的影响?
学生:
什么意思？我怎么在不知道具体旋转多少的情况下, 知道旋转对 A 做了什么？
老师:
尽管你确实不知道这个旋转操作具体是什么, 但是所有的旋转都是相似的. 你能否描述旋转操作对A做了什么?
学生:
嗯... 让我想想... 嗯, 我觉得 A 移动到了相对于 P的不同位置. 例如, 如果 A 原本在 P 右边, 可能现在它在 P 的上边或者其他类似的状况. 这取决于 theta 的大小.
老师:
整洁. 我们可以将你说的如下表述:
如果旋转 A 后的对应点是点 B, 那么两线段 start overline, P, A, end overline 和 start overline, P, B, end overline 的夹角是 theta.
学生:
是的, 我同意这个定义.
老师:
但是, 记住, 我们在数学上要做到绝对精确. 构造出等于theta的角只有这一种方法吗?
学生:
让我想想... 不, 有两种方法可以构造出这样的角度: 顺时针和逆时针。
老师:
对！旋转操作是逆时针的, 我们的定义应该包含它:
一个绕点P 旋转 theta 角的操作将任意一点 A 逆时针的移动到点 B 使得 m, angle, A, P, B, equals, theta.
当然, 如果 theta 是负值, 那么就向相反方向旋转, 即顺时针.
学生:
酷. 我们结束了吗？
老师:
你跟我说. 定义应该使得 A 的对应点的位置绝对清晰. 换句话说, 只能有一个点符合对 B 的描述.
只有一个点能逆时针地构造出一个 theta的角吗?
学生:
我认为如此... 等到! 不! 有很多点都可以构成这个角度! 由 P 到 B 的射线上的任意一点都和A构成一个theta的角.
老师:
好观察! 所以, 你能想到让我们的定义更好的方法吗?
学生:
是的, 除了角度等于 theta, 距离 P 的长度应该保持不变. 我认为你可以将此用数学的语言定义为 P, A, equals, P, B.
老师:
干得好! 让我们以如下的定义来总结我们的成果:
一个绕点 P 旋转 theta 角度的操作将任意一点 A 逆时针地移动到点 B 使得 P, A, equals, P, B and m, angle, A, P, B, equals, theta.
学生:
哇, 这确实非常精确的!
老师:
的确. 作为奖励, 让我来给你展示定义旋转的另一种方法:
绕某一点P旋转 theta 会将任意一点 A 逆时针地移到点 B 使得 A 和 B 两点都在以 P 为圆心的圆上, 并且 m, angle, A, P, B, equals, theta.
学生:
是的, 这也是可行的因为圆上的所有点与中心的距离相同。
老师:
没错！这两个定义的主要区别是第一个使用线段, 第二个使用一个圆。
学生:
酷. 就是这样吗？
老师:
是的. 我想我们已经尽可能精确地定义了旋转操作.