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主要内容

找出可分离方程

为了使用分离变量法来解微分方程,我们必须要能够将其变为 f(y)dy=g(x)dx 的形式,并且使 f(y) 是一个不含有 x 的式子,而 g(x) 是一个不含有 y 的式子。
并不是所有的微分方程都是这样。举例来说,不管我们怎样尝试,dydx=x+y 都不能被变为 f(y)dy=g(x)dx 的形式。
事实上,使用分离变量法最大的难点就是鉴别这个方法是否适用。可以使用分离变量法来解的微分方程被称为可分离方程
那么我们该如何得知一个方程是否是可分离的呢?最常见的一类可分离方程就是满足 dydx 等于 f(y)g(x) 的积或商的方程。
例如,dydx=g(x)f(y) 在两边同时乘以 f(y)dx 后就可以写成 f(y)dy=g(x)dx
此外,dydx=f(y)g(x) 在两边同时除以 f(y),乘以 dx 后就可以写成 1f(y)dy=g(x)dx
下面有几个具体的例子:
dydx=sin(y)f(y)ln(x)g(x)1sin(y)dy=ln(x)dx
dydx=x35xg(x)eyf(y)eydy=(x35x)dx
dydx=yf(y)cos(x)g(x)1ydy=1cos(x)dx
其他方程必须稍作操作才能变为 dydx=f(y)g(x) 的形式。例如, 我们需要将 dydx=xy7x 的右侧进行因式分解,以使其达到所需的格式:
dydx=xy7x=xg(x)(y7)f(y)
问题1
此微分方程可以用分离变量法求解吗?
dydx=3yx2y
选出正确答案:

问题2
此微分方程可以用分离变量法求解吗?
dydx=4x+5y+4
选出正确答案:

问题3
此微分方程可以用分离变量法求解吗?
dydx=2yx
选出正确答案:

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