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计算函数在区间内的的平均值

求 x^2+1 在区间 0 到 3 之间的平均值。

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视频字幕

比如说,我们的函数 f(x)等于x平方 加上1,我们想做的是, 计算函数f在区间内 它的平均值 区间是从0 到3的一个闭区间 我鼓励你暂停视频 看看是否可以独立解答, 尤其是说,如果你看过 其他关于函数平均值的视频, 已经了解了这个概念, 所谓函数f在区间的平均值 它是什么意思? 好,我假设你已经试过了 我们画个图来示意, 这样就可以算出平均值 这个是我们的y轴 这个是x轴 现在,区间是介于0到3之间 我们说, 这个是0,这个是1,2,3 它是一个闭区间 当x等于0,f(0) 计算结果是1 它在这里 f(1)是2 所以,这里是1,2,3 实际上,我们把比例尺 放的小一些 我得标记到10 这个会是10 这个是5 然后,1,2,3, 把它弄平均 是比较困难的 这个会是在中间 还好,然后,我们看中间 然后,得到了这个 够好了 会是在这里 函数会在这里 x和y轴的比例尺 是不一样的 2的平方加上1得到5 3的平方加上1得到10 3的平方加上1是10 所以,图形看上去像这个样子 这个就是我们的函数 看上去的样子 这个是y等于 f(x)的曲线 我们要计算它在介于0和3之间的 闭区间之内的平均值 介于0和3之间 所以,一种思考的方式是 我们可以应用公式 但是,重要的是,我们要明白 公式的实际意义是什么? 再次提醒,你不应该死记硬背公式 因为它实际上 会让你忘记它的意义 所以,函数的平均值 等于在这个区间的 定积分, 也就是这个曲线以下的面积, 所以就是从0到3 f(x),也就是x平方加1, 它的定积分, 然后,我们用这个面积 用这里的这个面积 我们把它除以 这个区间的宽度 然后就得到了基本上是它平均高度 或者说,函数的平均值 所以,我们将它除以b减去a 或者说3减去0, 也就是3 然后,现在,我们只需要计算这个 它等于是 1/3乘以-- 我看一下,x平方的不定积分是 x的3次方除以3 1的不定积分是x 我们要将它们从0到3来计算 所以,等于是1/3乘以 把这些在3处的值计算一下 我换个颜色 这个部分在3的处,就是 3的3次方, 除以3 得到27 再除以3 得到9,然后加上3,然后 计算这个部分在0处的值,减去0 减去0 所以,减去 这个部分在0处 得到的答案是0 所以,剩下的是 我用一下括号, 同样颜色的括号 它是1/3 乘以12 1/3乘以12, 也就是4 等于4 它就是函数的 平均值 在此区间内,函数的 平均值等于4 注意,我们的函数, 在区间的某个点处,等于这个值 在区间的某处, 小于2,但是大于0的某处 我们可以称之为c 我们的函数值包含这个值 这个一般而言是正确的 这个是积分的均值定理 我们稍微深入讲解一下 但是你可以在某种程度上 把它看成平均值 如果你想象一下这个区间, 如果你乘以这个高度, 平均值乘以宽度 你会得到这里这个面积 这里的这个面积,就是 我用黄色标识出来的 这里这个部分的面积 等于曲线下面的面积, 因为我们的平均高度 乘以宽度, 等于曲线下面的面积 希望你能够体会 其中的趣味