主要内容
积分学
分析涉及定积分的问题
把定积分理解为量的累积可以用来求解各种现实世界的应用题。
累积 (或净变化) 问题是要求在已知数量的变化率时，求出这个数量的累计量的问题。这些问题可以用定积分求解的。让我们看看它的过程吧。
累积问题可以用定积分求解
假设我们得到了下列信息：
汤的温度正在以每分钟 r, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, 30, e, start superscript, minus, 0, point, 3, t, end superscript 摄氏度的速度增加（t 为以分钟为单位的时间）。在 t, equals, 0时，汤的温度为 23 摄氏度。
并且假设我们要找到温度在 t, equals, 0 分钟至 t, equals, 5 分钟之间上升的量。这是一个累积（或净变化）问题。我们这么说是因为我们已知一个描述某一量的变化率的函数，并被要求求出该量在指定时间范围内的变化量。
对于其速率由函数 r 指定的任何量，定积分 integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, b, end superscript, r, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t 就描述了 t, equals, a 至 t, equals, b 之间的变化量。
因此, 在我们的案例中，t, equals, 0 分钟和 t, equals, 5 分钟之间的温度增加的量就是 integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 5, end superscript, r, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t。
integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 5, end superscript, r, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t, approximately equals, 77, point, 7 摄氏度
现在假设我们要解决一个不同的问题： 在 t, equals, 5 分钟时，汤的温度是多少？ 请注意，我们并不是在关注变化量，我们正在求量本身。但不用担心，因为定积分也可以帮助我们解决这一问题！我们仅需要添加初始条件。
回想一下，我们知道了汤在 t, equals, 0 时的温度为 23 摄氏度。如果将其加上 t, equals, 0 至 t, equals, 5 之间的温度变化，我们就得到了 t, equals, 5时的温度：
由于我们已经计算了 integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 5, end superscript, r, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t，我们就可以知道在 t, equals, 5 分钟时汤的温度为 23, plus, 77, point, 7, equals, 100, point, 7 摄氏度。真的很烫！
常犯的错误：用错初始条件
一些累积问题需要求净变化，一些则要求量本身。他们之间的区别就是，当我们要求量本身的时候，我们必须要考虑到初始条件。
最常见的错误就是，在求净变化的时候加上了初始量，或是在求实际量的时候没加上初始量。
常见错误：使用了微分而不是积分
应用题在微分和积分问题中都很常见。当我们看到一道题的时候，我们必须要知道解法到底要用微分还是积分。使用错误的方法当然会得到错误的答案。
当我们得到一个变量，并且需要求它的变化速率的时候，微分就非常有用。而当我们得到一个变化速率，并且反过来需要求那个量的时候，积分就要派上用场了。
| 已知什么？ | 要求什么？ | 用什么？ | |
|---|---|---|---|
| 微分学 | 数量 | 变化率 | 微分 |
| 积分学 | 变化率 | 数量 (或变化量) | 积分 |