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主要内容

分析涉及定积分的问题

把定积分理解为量的累积可以用来求解各种现实世界的应用题。
累积 (或净变化) 问题是要求在已知数量的变化率时,求出这个数量的累计量的问题。这些问题可以用定积分求解的。让我们看看它的过程吧。

累积问题可以用定积分求解

假设我们得到了下列信息:
汤的温度正在以每分钟 r(t)=30e0.3t 摄氏度的速度增加(t 为以分钟为单位的时间)。在 t=0时,汤的温度为 23 摄氏度。
并且假设我们要找到温度在 t=0 分钟至 t=5 分钟之间上升的量。这是一个累积(或净变化)问题。我们这么说是因为我们已知一个描述某一量的变化率的函数,并被要求求出该量在指定时间范围内的变化量
对于其速率由函数 r 指定的任何量,定积分 abr(t)dt 就描述了 t=at=b 之间的变化量。
因此, 在我们的案例中,t=0 分钟和 t=5 分钟之间的温度增加的量就是 05r(t)dt
05r(t)dt77.7 摄氏度
现在假设我们要解决一个不同的问题:t=5 分钟时,汤的温度是多少? 请注意,我们并不是在关注变化量,我们正在求本身。但不用担心,因为定积分也可以帮助我们解决这一问题!我们仅需要添加初始条件
回想一下,我们知道了汤在 t=0 时的温度为 23 摄氏度。如果将其加上 t=0t=5 之间的温度变化,我们就得到了 t=5时的温度:
23t=0 时的温度+05r(t)dt温度在 t=0 至 t=5 之间的变化
由于我们已经计算了 05r(t)dt,我们就可以知道在 t=5 分钟时汤的温度为 23+77.7=100.7 摄氏度。真的很烫!
问题1
思考以下问题:
某镇人口的增长速度为每年 r(t)=300e0.3t 人 (其中 t 是以年为单位的时间)。在 t=2 时,该镇的人口为 1200 人。在 t=7 时,该镇人口是多少?
我们应该用哪个等式来解决这个问题?
选出正确答案:

常犯的错误:用错初始条件

一些累积问题需要求净变化,一些则要求量本身。他们之间的区别就是,当我们要求量本身的时候,我们必须要考虑到初始条件。
最常见的错误就是,在求净变化的时候加上了初始量,或是在求实际量的时候没加上初始量。

常见错误:使用了微分而不是积分

应用题在微分和积分问题中都很常见。当我们看到一道题的时候,我们必须要知道解法到底要用微分还是积分。使用错误的方法当然会得到错误的答案。
当我们得到一个变量,并且需要求它的变化速率的时候,微分就非常有用。而当我们得到一个变化速率,并且反过来需要求那个量的时候,积分就要派上用场了。
已知什么?要求什么?用什么?
微分学数量变化率微分
积分学变化率数量 (或变化量)积分
问题2
思考以下问题:
水箱中水的深度以每分钟 r(t)=0.3t 厘米 (其中 t 为分钟) 的速度变化。在 t=0 时,水的深度为 35 厘米。求第四分钟水的深度变化量。
我们应该用哪个等式来解决这个问题?
选出正确答案:

常见错误:选错积分范围

正如你刚才看到的,为了得到正确答案,选择正确的积分范围是至关重要的。请确保您没有选择错误的上下限,尤其要注意的是原点经常被错误地忽略。
还想再练练? 做做看 这个练习.

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