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积分学

课程: 积分学 > 单元 3

课程 2: 直线运动
数学
积分学
积分的应用
直线运动
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运动问题（使用定积分）

Google课堂
定积分通常用于解决运动问题, 例如, 已知有关其速度的信息推理移动物体位置。了解这是如何做到的, 以及速度和速率的本质区别。
运动问题在微积分中很常见。使用微分，我们可以在已知某一运动物体的位置函数的情况下，推出其速度。使用积分，我们可以反着来：已知运动物体的速度函数，而求出其位置，或者位置的变化。

想一想速度、速率和定积分

假设粒子以 v, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, 5, minus, t 米每秒的速度在直线上移动，其中 t 是以秒为单位的时间。
函数v已绘制。横轴以t表示，t由0至10。函数图是一条直线，直线从(0, 5)开始，与t-轴相交于(5, 0)，并在第四象限终止。
当速度为正值时, 表示粒子沿着线向前移动, 当速度为负值时, 表示粒子正在向后移动。
假设我们要求出粒子在 t, equals, 0 秒和 t, equals, 10 秒之间的 位移 (即其位置的的变化)。而由于速度是粒子位置的变化速率，粒子位置的任何变化都可以由定积分来得到。
具体来说, 我们想要找到 integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 10, end superscript, v, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t。
函数v的图像如图所示。图中阴影部分为从t = 0至 t = 10函数图像与t轴相交时分别构成的两个区域。其中t=5时，函数图像与t轴相交。
有趣的是, 位移为 integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 10, end superscript, v, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t, equals, 0 米。(可以看到图中的两个区域大小相等, 并且符号相反)。
位移为 0 意味着粒子在 t, equals, 0 秒和 t, equals, 10 秒时在同一位置。如果看看粒子是如何向前与向后运动的话，你就明白了。
表示粒子的圆点起始位置位于横线最左端，即t = 0 和 v = 5之时。粒子向右端最大值移动后回到起点。当它向右移动时，t增至5，v降至0。当它回到起点时，t增至10，v降至-5。
这是对粒子在 t, equals, 0 秒到 t, equals, 10 秒间位移的模拟。(用 Geogebra 创建)。
尽管如此，粒子确实移动了。假设虽然它最后回到了原点，但我们还是要求出粒子移动的总距离。定积分可以帮助我们解决这个问题吗？
没错，它可以。为此，我们要做一些巧妙的操作。我们将查看其速率 vertical bar, v, vertical bar （即 v 的绝对值），而不是查看粒子的速度 v。
显示的是前一个函数v的图。 第二个函数是v的绝对值已绘制。 该图由两个线段组成。 第一段从（0，5）向下移动到（5，0）。 第二段从（5，0）向上经过（10，5）。
速率描述了它走得多快, 而速度不止描述了它走得多快， 还描述了它运动的方向。当直线移动时，速度可能为负值，但速率始终为正 (或零)。速率是速度的绝对值。
现在，我们知道了粒子在任一时刻的速率。那我们就通过计算定积分 integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 10, end superscript, vertical bar, v, left parenthesis, t, right parenthesis, vertical bar, d, t 来找到它运动的总距离了。
显示的是上一个函数绝对值为 v 的图。 图和t 轴之间的区域，从t = 0 到 t = 10。 这包括两个单独的区域，在t = 5的左侧和右侧。
在这时，结果为正 25 米。

记住：速度与速率的区别

速度是位置的变化率, 因此它的定积分会给出运动物体的位移。
速率是总距离的变化率，因此它的定积分会给我们物体运动的总距离，不论位置。
问题1
小乐得到了以下问题：
一个粒子以 v, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, minus, t, squared, plus, 8 米每秒的速度在直线上移动，t 是以秒为单位的时间。在 t, equals, 2 时，粒子与起点之间的距离为 5 米。粒子在 t, equals, 2 和 t, equals, 6 秒之间移动的总距离是多少？
小乐应该用哪个表达式来解决这个问题？
选出正确答案：

问题2
小德得到了以下问题：
一个物体以 v, left parenthesis, t, right parenthesis 米每秒的速度在直线上移动，t 是以秒为单位的时间（如图）。当 t, equals, 1 时，物体与起点之间的距离为正方向 2 米。请问物体在 t, equals, 1 和 t, equals, 6 秒之间移动的总位移是多少？
小德应该用哪个表达式来解决这个问题？
选出正确答案：

使用定积分和初始状态来找到实际位置

有些运动问题需要我们找到粒子在某一个具体时间点的位置。记住，定积分只能告诉我们粒子位置的 变化。为了找到粒子在某一个具体时间点的位置，我们还需要初始状态。
问题3
小迪得到了以下问题：
一个粒子以 v, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, square root of, 3, t, minus, 1, end square root 米每秒的速度在直线上移动,t 是以秒为单位的时间。在 t, equals, 2 时，粒子与起点之间的距离为正 8 米。粒子在 t, equals, 7 秒时的位置是什么？
小迪应该用哪个等式来解决这个问题？
选出正确答案：

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总结：三种需要使用定积分的运动问题

运动问题在我们已知运动物体的 速度 并且需要求出 位置 的时候，需要使用定积分。一共有三种可能的问题：
类型一般的描述正确的表达式
位移“粒子在...和...之间的位移是多少？” 或 “粒子在...和...之间位置的变化是多少？”integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, b, end superscript, v, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t
总距离“粒子在...和...之间运动的距离是多少？”integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, b, end superscript, \mid, v, left parenthesis, t, right parenthesis, \mid, d, t
实际位置“粒子在...的时候的位置是什么？”C, plus, integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, b, end superscript, v, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t，其中C是初始状态。

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