归纳磁盘法

我们现在把前面的视频中所用到的方法通用化一下 如果这个是y轴, 这个这里是x轴 比如说我们有两个函数 我用比较通用化的方式来说 比如,这里有一个函数 它是像这个样子的 这是一个函数 它是y等于f(x) 然后，另外一个函数，y等于g(x) 比如说，它像这个样子 这里蓝色的这个是y等于g(x) 像我们上个视频所做的那样 我们想要计算旋转得到的实体的体积 如果我们只是旋转它们， 围绕着x轴旋转 我们会得到这两个函数曲线之间围出来的区域 因为我们在一般性地描述这个问题 所以它可以是任何函数 但是，如果参照我们画的方式的话 它看上去像是蘑菇的样子 它的外缘部分 看上去像蘑菇 在外侧，看上去像蘑菇 内侧，我们旋转后得到一个锥体的样子 显然，这个图形是 针对我所写的函数的 但是我们想做的是在数学上将它通用化 我们如何计算其体积？ 我们可以想象出切片 但是，我们要考虑垫圈 而不是切片， 就和我们在上个视频中采用的 一样的数学方法 但是，概念上稍微有所不同 想象着取两个函数中间的一小块 像这样 这块的宽度是多少？ 它应该等于是dx 我们将这整块围绕着x轴旋转一下 如果我把它围着x轴旋转 就会形成一个垫圈的形状 这就是为什么我们称之为垫圈方法 也可以算做某种形式的切片方法 只是把切片的内部分割开 所以，这个是垫圈的内部 然后这里是垫圈的外部 垫圈的外部像这样子 希望你能给体会 然后，垫圈的表面积，看上去是这个样子的 我应该画的更好些 希望你还是能够明白 这样我们可以继续 垫圈的表面看上去像这样 它的深度为dx 我们来试着画一下 深度dx 垫圈的边 所以，一个垫圈，你可以想象，是一个中空的硬币 我们如何计算其体积？ 再次，如果我们知道表面 如果我们知道垫圈的面积， 我们可以直接把它乘以深度 所以，这个是垫圈表面的面积 垫圈表面的面积-- 它可以是实心的 这个面积是多少？ 它应该是pi乘以 外缘对应半径的平方 它是pi乘以外缘的半径的平方 外缘的半径是多少？ 垫圈外面的半径是多少？ 它是f(x) 所以，f(x)就是外缘的半径 我们将它平方 得到这里这个表达式 它告诉我们整体的面积 如果它不是一个垫圈，而是一个硬币的话 但是，现在，我们必须把里面的部分去掉 里面的部分，面积是多少？ 这里这个部分？ 我们要减掉它 它是pi乘以内部半径的平方 内部半径的平方是多少？ 内部，在本题中，是g(x) 所以是pi乘以g(x)的平方 这是对应于我们研究的区间 内部的函数 垫圈的面积，我们可以先写成这样 或者我们可以把pi提取出来 我们说，面积等于是-如果提取出pi的话- pi乘以f(x)的平方减去g(x)的平方 这里不一定要写括号 所以，我们写成f(x)平方减去g(x)平方 如果我们要计算体积--我们换成同样的黄色 如果要计算这个的体积 我们只要把它乘以每个垫圈的深度 垫圈的体积 就是pi乘以f(x)的平方减去g(x)的平方 在区间内外缘函数的平方，减去 区间内内缘函数的平方 然后乘以深度 这样就得到了每个垫圈的体积 它在区间内的给定点x，定义出了体积 但是在区间内的每个x 我们都可以定义一个新的垫圈 所以，这里又是一个垫圈，这里，等等 我们要把所有这些垫圈加总起来 并且取极限，因为我们的深度越来越小 我们有无限多个，深度为无限小的垫圈 所以，我们要在区间内进行积分，这个区间内 这两个相交，这个区间是我们关注的 它不一定是它们相交的，但是在本例中， 我们先这样做 我们比如说x等于a到x等于b 尽管这个可能是a，这个可能是b 但是，这个是我们的一般化的区间 从a到b 它会定义出我们的体积 这里，是每个垫圈的体积 然后，我们加总所有垫圈 取极限，因为我们有无穷多个垫圈 然后看看，如果我们把它应用到上个视频， 是否得到同样的答案 在上个视频中， y等于g(x), 等于x， y等于f(x)，等于x的平方根 既然前面我们求出了来导数， 我们计算一下 体积是--在这里做 体积是一个积分-- 这两个交点在哪里？ 这里，再次，我们可以 把交点定义在其他地方， 比如这里和这里 我们就会得到不一样的图形， 但是，重点是我们更关注它视觉化的过程 它介于x等于0和x等于1之间 这是两个函数相交的地方 在上个视频中我们已经求出来了 pi乘以--f(x)平方等于多少？ f(x)平方 x的平方根的平方，就是x，减去g(x)的平方 g(x)是x,它的平方是x的平方 我们乘以dx 它就等于-我们可以提取出pi 从0到1，x减去x平方 dx 等于是pi乘以-我看一下x的不定积分是x平方除以2 x的平方的不定积分，是x的3次方 再除以3 我们将它从0到1计算 它就是-- 地方有些挤 我们往下一点 它等于是pi乘以-- 计算这个部分在1处的值，得到-- 看一下，1/2减去1/3 然后减去它，在0处的值 这个部分的值为0 0的平方除以2减去0，0的三次方 得到0 所以我们是减去0， 得到这里这个表达是 1/2减去1/3得到多少？ 答案是1/6 是1/6 得到的结果是pi除以6 和上个视频的答案一样 这是因为我们实际上做了 和上个视频同样的事情 我们只是把它稍微概念化了一些 我们用f(x)和g(x)来一般化这个过程 我们把它一般化为一个垫圈 而不是在上个视频中，对外部和内部形状， 应用切片的方式