主要内容
解释变限积分函数的内涵
我们可以用原函数的知识, 将"基于微积分的推理" 应用到函数的反导数的性质的证明中.
在微分中,我们根据一个函数的导数 的信息来推导函数的性质。在积分中,我们不讨论函数及其导数,而是讨论函数及其不定积分。
从 的图像中推断出
这是 的图像。
假设 。如若按这种定义,则 为 的不定积分。在微分学中我们将其写作 。因为 是 的导数,我们可以用类似于微分学的方法推导出 的性质。
例如, 在 区间上为正数, 因此 在此区间必递增。
此外, 在 时符号产生变化,因此 在那里必须有一个极值。由于 从正数变为负数, 因此该点必须是最大点。
上列示例给我们显示了如何可以推断 的递增或递减的区间以及其相对极值。我们还可以解释 的凹度。由于 在 的区间上递增,我们知道 在该区间是下凹的。由于 在 的区间递减,因此我们知道 在该区间是下凹的。 在 处的凹度产生变化, 因此它在那有一个拐点。
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重要的是,不要混淆相关函数与其不定积分的性质。很多疑惑的学生都做出过各种各样的错误推论,比如说不定积分是正的,因为函数在增加 (实际上是相反的) 之类的。
该表总结了函数的性质与其不定积分之间的所有关系。
当函数 | 当不定积分 |
---|---|
正 | 递增 |
负 | 递减 |
递增 | 上凹 |
递减 | 下凹 |
符号变换 / 越过 | 极值点 |
极值点 | 拐点 |