解释变限积分函数的内涵

在微分中，我们根据一个函数的导数$f'$f, prime的信息来推导函数的性质。在积分中，我们不讨论函数及其导数，而是讨论函数及其不定积分。

这是 $f$f 的图像。

假设 $g(x)=\displaystyle\int_0^x f(t)\,dt$g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, x, end superscript, f, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t。如若按这种定义，则 $g$g 为 $f$f 的不定积分。在微分学中我们将其写作 $g'=f$g, prime, equals, f。因为 $f$f 是 $g$g 的导数，我们可以用类似于微分学的方法推导出 $g$g 的性质。

例如, $f$f 在 $[0，10]$open bracket, 0, ，, 10, close bracket 区间上为正数, 因此 $g$g 在此区间必递增。

此外, $f$f 在 $x= 10$x, equals, 10 时符号产生变化，因此 $g$g 在那里必须有一个极值。由于 $f$f 从正数变为负数, 因此该点必须是最大点。

上列示例给我们显示了如何可以推断 $g$g 的递增或递减的区间以及其相对极值。我们还可以解释 $g$g 的凹度。由于 $f$f 在 $[-2，5]$open bracket, minus, 2, ，, 5, close bracket 的区间上递增，我们知道 $g$g 在该区间是下凹的。由于 $f$f 在 $[5，13]$open bracket, 5, ，, 13, close bracket 的区间递减，因此我们知道 $g$g 在该区间是下凹的。 $g$g 在 $x= 5$x, equals, 5 处的凹度产生变化, 因此它在那有一个拐点。

重要的是，不要混淆相关函数与其不定积分的性质。很多疑惑的学生都做出过各种各样的错误推论，比如说不定积分是正的，因为函数在增加 (实际上是相反的) 之类的。

该表总结了函数的性质与其不定积分之间的所有关系。