解释变限积分函数的内涵

在微分中，我们根据一个函数的导数$f^{\prime }$‍的信息来推导函数的性质。在积分中，我们不讨论函数及其导数，而是讨论函数及其不定积分。

这是 $f$‍ 的图像。

假设 $g(x)={\displaystyle {\int }_0^{x}f(t)dt}$‍。如若按这种定义，则 $g$‍ 为 $f$‍ 的不定积分。在微分学中我们将其写作 $g^{\prime }=f$‍。因为 $f$‍ 是 $g$‍ 的导数，我们可以用类似于微分学的方法推导出 $g$‍ 的性质。

例如, $f$‍ 在 $[0，10]$‍ 区间上为正数, 因此 $g$‍ 在此区间必递增。

此外, $f$‍ 在 $x=10$‍ 时符号产生变化，因此 $g$‍ 在那里必须有一个极值。由于 $f$‍ 从正数变为负数, 因此该点必须是最大点。

上列示例给我们显示了如何可以推断 $g$‍ 的递增或递减的区间以及其相对极值。我们还可以解释 $g$‍ 的凹度。由于 $f$‍ 在 $[-2，5]$‍ 的区间上递增，我们知道 $g$‍ 在该区间是下凹的。由于 $f$‍ 在 $[5，13]$‍ 的区间递减，因此我们知道 $g$‍ 在该区间是下凹的。 $g$‍ 在 $x=5$‍ 处的凹度产生变化, 因此它在那有一个拐点。

重要的是，不要混淆相关函数与其不定积分的性质。很多疑惑的学生都做出过各种各样的错误推论，比如说不定积分是正的，因为函数在增加 (实际上是相反的) 之类的。

该表总结了函数的性质与其不定积分之间的所有关系。