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积分学

课程: 积分学 > 单元 1

课程 5: 用黎曼和定义积分
数学
积分学
积分
用黎曼和定义积分
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将积分定义为黎曼和的极限

Google课堂
黎曼和帮助我们近似计算定积分, 但它们也有助于我们正式定义定积分. 了解这一点是如何实现的, 以及如何在面积的定积分形式和黎曼和形式之间进行转换.
定积分表示函数曲线下方区域的面积，通过黎曼和我们可以近似求出该区域面积。问题仍然存在：是否有办法找到确定积分的 精确值？

"无限" 矩阵的黎曼和

假设我们要求出图形 f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, 1, divided by, 5, end fraction, x, squared 介于 x, equals, 2 和 x, equals, 6之间的下方区域面积。
函数f已绘制。 x轴从-1到8。图形为平滑曲线。 曲线从第2象限开始，向下移动到（0，0）处的相对最小值，向上移动并在第1象限结束。阴影区域在曲线和x轴，x = 2和x = 6之间 。
使用定积分表示法，我们可以表示出该区域的精确面积：
integral, start subscript, 2, end subscript, start superscript, 6, end superscript, start fraction, 1, divided by, 5, end fraction, x, squared, d, x
我们可以使用黎曼求和来逼近这个区域。让 R, left parenthesis, n, right parenthesis 表示我们区域面积中，将该面积等分为n 个子项的右黎曼和近似值（即 n 个相等宽度的矩形）。
例如, 这是 R, left parenthesis, 4, right parenthesis。你可以看到计算出的近似值大于实际区域面积。
函数f的图形的曲线下区域分为4个宽度为1的长方形。每个长方形都触及右上角的曲线。
我们使用相等宽度的 4 个矩形面积来近似计算介于 x, equals, 2 和 x, equals, 6 之间的 f 曲线下方的区域面积。
我们可以通过将该区域面积划分为宽度越来越小的矩形来使面积更接近实际值。即, 将 R, left parenthesis, n, right parenthesis 中的 n 值越变越大。
当矩形的数目从 1 变成 100 时，您可以看到近似值越来越接近实际面积：
函数f的图形具有动画效果。 阴影区域被分成越来越多的等宽长方形，从1到100。这些面积越变越小，从R（1） 大约=28.8到R（100） 大约=13.99。
图像由 Geogebra 创建。
当然, 使用更多的矩形会让我们更接近精确值，但近似值依然是近似值。
如果我们可以计算无限 等分子项的黎曼和，情况会怎么样？这可能吗？但是，我们不能将 n, equals, infinity ，因为无穷大不是一个实际的数字，但你可能还记得我们有一种方法叫 趋于 无穷...
极限！
确切地表示该极限如下：
limit, start subscript, n, \to, infinity, end subscript, R, left parenthesis, n, right parenthesis
惊人的事实 #1：该极限值确实是 integral, start subscript, 2, end subscript, start superscript, 6, end superscript, start fraction, 1, divided by, 5, end fraction, x, squared, d, x的精确值。
惊人的事实 #2：无论是右黎曼和、左黎曼求和还是任何其他常见的近似问题，在无穷大时, 我们将始终得到定积分的确切值。
（这些事实的严格证明过程过于详细，无法在这里讲述。但没关系，我们只是通过直觉也可以看到黎曼和与定积分的关系。）
到目前为止，我们都是用 R, left parenthesis, n, right parenthesis 表示含有 n 个细分子项的右黎曼和近似值。下面，我们来看看实际的表达式怎么写。
快速回顾： 首先计算 start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54，每个矩形的相等 start color #1fab54, start text, 宽, 度, end text, end color #1fab54 ，然后求出 start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd，第 i 个矩形的右边的 x-值。最后， start color #e07d10, f, left parenthesis, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, right parenthesis, end color #e07d10 表示每个矩形的 start color #e07d10, start text, 高, 度, end text, end color #e07d10 。
Δx=6−2n=4nxi=2+Δx⋅i=2+4nif(xi)=15(xi)2=15(2+4ni)2\begin{aligned} \greenD{\Delta x}&=\dfrac{6-2}{n}=\greenD{\dfrac4n} \\\\ \blueD{x_i}&=2+\Delta x\cdot i=\blueD{2+\dfrac4n i} \\\\ \goldD{f(\blueD{x_i})}&=\dfrac15(x_i)^2=\goldD{\dfrac15\left(\blueD{2+\dfrac4n i}\right)^2} \end{aligned}
于是，第 i 个矩形的面积表达式就是 start color #1fab54, start fraction, 4, divided by, n, end fraction, end color #1fab54, dot, start color #e07d10, start fraction, 1, divided by, 5, end fraction, left parenthesis, start color #11accd, 2, plus, start fraction, 4, divided by, n, end fraction, i, end color #11accd, right parenthesis, squared, end color #e07d10，我们将 i 从 1 到 n取值时的结果加总在一起：
R, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, sum, start subscript, i, equals, 1, end subscript, start superscript, n, end superscript, left parenthesis, 2, plus, start fraction, 4, i, divided by, n, end fraction, right parenthesis, squared, dot, start fraction, 4, divided by, 5, n, end fraction
现在我们可以用极限方式来表示该区域面积的准确值：
=∫2615x2 dx=lim⁡n→∞R(n)=lim⁡n→∞∑i=1n(2+4in)2⋅45n\begin{aligned} &\phantom{=}\displaystyle\int_2^6 {\dfrac15x^2\,}{dx} \\\\ &=\displaystyle\lim_{n\to\infty}R(n) \\\\ &=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\left(2+\dfrac{4i}{n}\right)^2\cdot\dfrac{4}{5n} \end{aligned}

定积分是黎曼和的极限

上面的例子就表示了定积分的一般定义：:
连续函数 f 在区间 open bracket, a, comma, b, close bracket的定积分，表示为 integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, b, end superscript, f, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x，就是当细分子项接近无穷大时，该黎曼和的极限值。
integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, b, end superscript, f, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x, equals, limit, start subscript, n, \to, infinity, end subscript, sum, start subscript, i, equals, 1, end subscript, start superscript, n, end superscript, start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, dot, start color #e07d10, f, left parenthesis, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, right parenthesis, end color #e07d10
其中 start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, equals, start fraction, b, minus, a, divided by, n, end fraction ， start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, equals, a, plus, delta, x, dot, i, end color #11accd。

给出定积分，如何写出黎曼和...

假设对于下面的定积分，我们要写出黎曼和的极限表达式。
integral, start subscript, pi, end subscript, start superscript, 2, pi, end superscript, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x
首先，我们要找出 start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54：
Δx=b−an=2π−πn=πn\begin{aligned} \greenD{\Delta x}&=\dfrac{ b- a}{n} \\\\ &=\dfrac{{2\pi}- \pi}{n} \\\\ &=\greenD{\dfrac{\pi}{n}} \end{aligned}
知道了 start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54，就可以写出 start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd：
xi=a+Δx⋅i=π+πn⋅i=π+πin\begin{aligned} \blueD{x_i}&= a+\greenD{\Delta x}\cdot i \\\\ &= \pi+\greenD{\dfrac{\pi}{n}}\cdot i \\\\ &=\blueD{\pi+\dfrac{\pi i}{n}} \end{aligned}
于是，
integral, start subscript, pi, end subscript, start superscript, 2, pi, end superscript, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x, equals, limit, start subscript, n, \to, infinity, end subscript, sum, start subscript, i, equals, 1, end subscript, start superscript, n, end superscript, start color #1fab54, start fraction, pi, divided by, n, end fraction, end color #1fab54, dot, start color #e07d10, cosine, left parenthesis, start color #11accd, pi, plus, start fraction, pi, i, divided by, n, end fraction, end color #11accd, right parenthesis, end color #e07d10

练习根据定积分写出黎曼和

问题1
integral, start subscript, 0, end subscript, cubed, e, start superscript, x, end superscript, d, x, equals, question mark
选出正确答案：

问题2
integral, start subscript, 1, end subscript, start superscript, e, end superscript, natural log, x, d, x, equals, question mark
选出正确答案：

常见错误： 写错 delta, x 的表达式

例如，在问题 2 中，学生可能会把 delta, x 误写成 start fraction, e, divided by, n, end fraction 或者 start fraction, 1, divided by, n, end fraction ，而正确的应该是 start fraction, e, minus, 1, divided by, n, end fraction。另一个错误是直接把 d, x 当成 delta, x。 记住， d, x 仅在 积分 表达式中才出现的符号，而不是求和。它的作用是表示该集合是关于 x的。

另一个常见错误： x, start subscript, i, end subscript表达式写错

学生可能会忘了从 a 开始加 delta, x, dot, i，导致错误的表达式。例如，问题2中，某同学可能直接把 x, start subscript, i, end subscript 误写成 start fraction, e, minus, 1, divided by, n, end fraction, dot, i ，正确表达应该是 1, plus, start fraction, e, minus, 1, divided by, n, end fraction, dot, i。

根据黎曼和极限，写出定积分...

假设我们要写出与下面黎曼和极限相等的定积分：
limit, start subscript, n, \to, infinity, end subscript, sum, start subscript, i, equals, 1, end subscript, start superscript, n, end superscript, natural log, left parenthesis, 2, plus, start fraction, 5, i, divided by, n, end fraction, right parenthesis, dot, start fraction, 5, divided by, n, end fraction
这意味着我们要找出该积分的边界区间 open bracket, start color #aa87ff, a, end color #aa87ff, comma, start color #aa87ff, b, end color #aa87ff, close bracket ，以及被积函数 start color #e07d10, f, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10。然后，就可以直接写出相应的定积分 integral, start subscript, start color #aa87ff, a, end color #aa87ff, end subscript, start superscript, start color #aa87ff, b, end color #aa87ff, end superscript, start color #e07d10, f, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, d, x。
我们知道，每个黎曼和都包括两个部分: 每个矩形的宽度 start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54 和高度 start color #e07d10, f, left parenthesis, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, right parenthesis, end color #e07d10 。对于下面给出的极限，我们可以找出这两部分。
limit, start subscript, n, \to, infinity, end subscript, sum, start subscript, i, equals, 1, end subscript, start superscript, n, end superscript, start color #e07d10, natural log, left parenthesis, start color #11accd, 2, plus, start fraction, 5, i, divided by, n, end fraction, end color #11accd, right parenthesis, end color #e07d10, dot, start color #1fab54, start fraction, 5, divided by, n, end fraction, end color #1fab54
统一宽度的矩形： start color #1fab54, start fraction, 5, divided by, n, end fraction, end color #1fab54 是我们要找的矩形宽度，start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54，因为它不受项数 i的影响。它表示对于求和中的每一项， start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54 都保持不变，而这正是我们要找的黎曼和中，每个矩形具有相同的宽度。
不同高度的矩形： 表达式 start color #e07d10, natural log, left parenthesis, start color #11accd, 2, plus, start fraction, 5, i, divided by, n, end fraction, end color #11accd, right parenthesis, end color #e07d10 是 i的因变量，这正好符合矩形高度的情形， start color #e07d10, f, left parenthesis, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, right parenthesis, end color #e07d10。 这里 start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd 的自然选择就是 start color #11accd, 2, plus, start fraction, 5, i, divided by, n, end fraction, end color #11accd，由此可见，我们的被积函数就是start color #e07d10, f, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, equals, start color #e07d10, natural log, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10。
要找出该积分的边界 a 和 b，让我们倒想一下定积分中， start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54 和 start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd 的一般定义。
如前面讲到的， start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, equals, start color #aa87ff, a, end color #aa87ff, plus, start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, dot, i, space。在本题中， start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, equals, start color #11accd, 2, plus, start fraction, 5, i, divided by, n, end fraction, end color #11accd，可以写成 start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff, plus, start color #1fab54, start fraction, 5, divided by, n, end fraction, end color #1fab54, i，因此 start color #aa87ff, a, end color #aa87ff 一定等于 start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff。
如前面讲到的， start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, equals, start fraction, b, minus, a, divided by, n, end fraction, space。在本题中， start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, equals, start fraction, 5, divided by, n, end fraction。分母都是 n，分子必然相等：b, minus, a, equals, 5。我们已经知道了 start color #aa87ff, a, equals, 2, end color #aa87ff，因此可以计算出 start color #aa87ff, b, equals, 7, end color #aa87ff。
把各个结果结合起来，与该黎曼和的极限相等的定积分就是：
integral, start subscript, start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff, end subscript, start superscript, start color #aa87ff, 7, end color #aa87ff, end superscript, start color #e07d10, natural log, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, d, x

练习根据黎曼和，写定积分

习题 3.A
  • 当前
问题集3将示范找到此表达式所表示的定积分的全部步骤：
limit, start subscript, n, \to, infinity, end subscript, sum, start subscript, i, equals, 1, end subscript, start superscript, n, end superscript, left parenthesis, 3, plus, start fraction, 4, i, divided by, n, end fraction, right parenthesis, squared, dot, start fraction, 4, divided by, n, end fraction
这个表达式里的 delta, x 是什么？
选出正确答案：

常见难点：在黎曼和中找不出 delta, x

当求和表达式被简化并包含许多分式时，很难确定它的哪个部分是 delta, x。
记住，delta, x 一定是求和表达式的一个因数，格式为 start fraction, k, divided by, n, end fraction，这里 k 不含有求和的项数 i。

另一个常见难点：找不到积分边界区间

注意在问题集 3 中，看到 delta, x, equals, start fraction, 4, divided by, n, end fraction 就要想到 b, minus, a, equals, 4。这很有用，但是，如果找不出 a ，我们还是不知道 a 和 b 是多少。 我们是根据 x, start subscript, i, end subscript, equals, 3, plus, start fraction, 4, i, divided by, n, end fraction 得出 a 的。
一个常见的错误是立即假设, 比如看到 delta, x, equals, start fraction, 4, divided by, n, end fraction，就认为边界区间是 open bracket, 0, comma, 4, close bracket。

最后的常见难点： 不会分析表达式

有些学生根本不知道从哪里入手。
从求和表达式开始。你应该能够区分出两个要素：一个是格式 start fraction, k, divided by, n, end fraction （其中 k 不包含求和的项数 i）， 另一个是以 i 为变量的表达式。从前者我们得到 start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54 ，从后者我们得到 start color #11accd, f, left parenthesis, start color #e07d10, x, start subscript, i, end subscript, end color #e07d10, right parenthesis, end color #11accd。
问题 4
limit, start subscript, n, \to, infinity, end subscript, sum, start subscript, i, equals, 1, end subscript, start superscript, n, end superscript, square root of, 4, plus, start fraction, 5, i, divided by, n, end fraction, end square root, dot, start fraction, 5, divided by, n, end fraction, equals, question mark
选出正确答案：

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