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课程: 积分学 > 单元 1

课程 5: 用黎曼和定义积分

将积分定义为黎曼和的极限

黎曼和帮助我们近似计算定积分, 但它们也有助于我们正式定义定积分. 了解这一点是如何实现的, 以及如何在面积的定积分形式和黎曼和形式之间进行转换.

定积分表示函数曲线下方区域的面积，通过黎曼和我们可以近似求出该区域面积。问题仍然存在：是否有办法找到确定积分的 精确值？

"无限" 矩阵的黎曼和

假设我们要求出图形

f (x) = \frac{1}{5} x^{2}

介于

x = 2

和

x = 6

之间的下方区域面积。

使用定积分表示法，我们可以表示出该区域的精确面积：

\int_{2}^{6} \frac{1}{5} x^{2} d x

我们可以使用黎曼求和来逼近这个区域。让

R (n)

表示我们区域面积中，将该面积等分为

n

个子项的右黎曼和近似值（即

n

个相等宽度的矩形）。

例如, 这是

R (4)

。你可以看到计算出的近似值大于实际区域面积。

我们可以通过将该区域面积划分为宽度越来越小的矩形来使面积更接近实际值。即, 将

R (n)

中的

n

值越变越大。

当矩形的数目从

1

变成

100

时，您可以看到近似值越来越接近实际面积：

当然, 使用更多的矩形会让我们更接近精确值，但近似值依然是近似值。

如果我们可以计算无限等分子项的黎曼和，情况会怎么样？这可能吗？但是，我们不能将

n = \infty

，因为无穷大不是一个实际的数字，但你可能还记得我们有一种方法叫趋于无穷...

极限！

确切地表示该极限如下：

lim_{n \to \infty} R (n)

惊人的事实 #1：该极限值确实是

\int_{2}^{6} \frac{1}{5} x^{2} d x

的精确值。

惊人的事实 #2：无论是右黎曼和、左黎曼求和还是任何其他常见的近似问题，在无穷大时, 我们将始终得到定积分的确切值。

（这些事实的严格证明过程过于详细，无法在这里讲述。但没关系，我们只是通过直觉也可以看到黎曼和与定积分的关系。）

到目前为止，我们都是用

R (n)

表示含有

n

个细分子项的右黎曼和近似值。下面，我们来看看实际的表达式怎么写。

快速回顾： 首先计算

Δ x

，每个矩形的相等

宽度

，然后求出

x_{i}

，第

i

个矩形的右边的

x

-值。最后，

f (x_{i})

表示每个矩形的

高度

。

\begin{aligned} Δ x & = \frac{6 - 2}{n} = \frac{4}{n} \\ x_{i} & = 2 + Δ x \cdot i = 2 + \frac{4}{n} i \\ f (x_{i}) & = \frac{1}{5} (x_{i})^{2} = \frac{1}{5} {(2 + \frac{4}{n} i)}^{2} \end{aligned}

于是，第

i

个矩形的面积表达式就是

\frac{4}{n} \cdot \frac{1}{5} {(2 + \frac{4}{n} i)}^{2}

，我们将

i

从

1

到

n

取值时的结果加总在一起：

R (n) = \sum_{i = 1}^{n} {(2 + \frac{4 i}{n})}^{2} \cdot \frac{4}{5 n}

现在我们可以用极限方式来表示该区域面积的准确值：

\begin{aligned} \int_{2}^{6} \frac{1}{5} x^{2} d x \\ = lim_{n \to \infty} R (n) \\ = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} {(2 + \frac{4 i}{n})}^{2} \cdot \frac{4}{5 n} \end{aligned}

定积分是黎曼和的极限

上面的例子就表示了定积分的一般定义：:

连续函数

f

在区间

[a, b]

的定积分，表示为

\int_{a}^{b} f (x) d x

，就是当细分子项接近无穷大时，该黎曼和的极限值。

\int_{a}^{b} f (x) d x = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} Δ x \cdot f (x_{i})

其中

Δ x = \frac{b - a}{n}

，

x_{i} = a + Δ x \cdot i

。

给出定积分，如何写出黎曼和...

假设对于下面的定积分，我们要写出黎曼和的极限表达式。

\int_{π}^{2 π} \cos (x) d x

首先，我们要找出

Δ x

：

\begin{aligned} Δ x & = \frac{b - a}{n} \\ = \frac{2 π - π}{n} \\ = \frac{π}{n} \end{aligned}

知道了

Δ x

，就可以写出

x_{i}

：

\begin{aligned} x_{i} & = a + Δ x \cdot i \\ = π + \frac{π}{n} \cdot i \\ = π + \frac{π i}{n} \end{aligned}

于是，

\int_{π}^{2 π} \cos (x) d x = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} \frac{π}{n} \cdot \cos (π + \frac{π i}{n})

练习根据定积分写出黎曼和

问题1

\int_{0}^{3} e^{x} d x = ?

问题2

\int_{1}^{e} \ln x d x = ?

常见错误：写错 $Δ x$ ‍ 的表达式

例如，在问题 2 中，学生可能会把

Δ x

误写成

\frac{e}{n}

或者

\frac{1}{n}

，而正确的应该是

\frac{e - 1}{n}

。另一个错误是直接把

d x

当成

Δ x

。记住，

d x

仅在积分表达式中才出现的符号，而不是求和。它的作用是表示该集合是关于

x

的。

另一个常见错误： $x_{i}$ ‍表达式写错

学生可能会忘了从

a

开始加

Δ x \cdot i

，导致错误的表达式。例如，问题2中，某同学可能直接把

x_{i}

误写成

\frac{e - 1}{n} \cdot i

，正确表达应该是

1 + \frac{e - 1}{n} \cdot i

。

根据黎曼和极限，写出定积分...

假设我们要写出与下面黎曼和极限相等的定积分：

lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} \ln (2 + \frac{5 i}{n}) \cdot \frac{5}{n}

这意味着我们要找出该积分的边界区间

[a, b]

，以及被积函数

f (x)

。然后，就可以直接写出相应的定积分

\int_{a}^{b} f (x) d x

。

我们知道，每个黎曼和都包括两个部分: 每个矩形的宽度

Δ x

和高度

f (x_{i})

。对于下面给出的极限，我们可以找出这两部分。

lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} \ln (2 + \frac{5 i}{n}) \cdot \frac{5}{n}

统一宽度的矩形：

\frac{5}{n}

是我们要找的矩形宽度，

Δ x

，因为它不受项数

i

的影响。它表示对于求和中的每一项，

Δ x

都保持不变，而这正是我们要找的黎曼和中，每个矩形具有相同的宽度。

不同高度的矩形： 表达式

\ln (2 + \frac{5 i}{n})

是

i

的因变量，这正好符合矩形高度的情形，

f (x_{i})

。这里

x_{i}

的自然选择就是

2 + \frac{5 i}{n}

，由此可见，我们的被积函数就是

f (x) = \ln (x)

。

要找出该积分的边界

a

和

b

，让我们倒想一下定积分中，

Δ x

和

x_{i}

的一般定义。

如前面讲到的，

x_{i} = a + Δ x \cdot i

。在本题中，

x_{i} = 2 + \frac{5 i}{n}

，可以写成

2 + \frac{5}{n} i

，因此

a

一定等于

2

。

如前面讲到的，

Δ x = \frac{b - a}{n}

。在本题中，

Δ x = \frac{5}{n}

。分母都是

n

，分子必然相等：

b - a = 5

。我们已经知道了

a = 2

，因此可以计算出

b = 7

。

把各个结果结合起来，与该黎曼和的极限相等的定积分就是：

\int_{2}^{7} \ln (x) d x

练习根据黎曼和，写定积分

习题 3.A

问题集3将示范找到此表达式所表示的定积分的全部步骤：

lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} {(3 + \frac{4 i}{n})}^{2} \cdot \frac{4}{n}

这个表达式里的 $Δ x$ ‍ 是什么？

常见难点：在黎曼和中找不出 $Δ x$ ‍

当求和表达式被简化并包含许多分式时，很难确定它的哪个部分是

Δ x

。

记住， $Δ x$ ‍ 一定是求和表达式的一个因数，格式为 $\frac{k}{n}$ ‍，这里 $k$ ‍ 不含有求和的项数 $i$ ‍。

另一个常见难点：找不到积分边界区间

注意在问题集 3 中，看到

Δ x = \frac{4}{n}

就要想到

b - a = 4

。这很有用，但是，如果找不出

a

，我们还是不知道

a

和

b

是多少。我们是根据

x_{i} = 3 + \frac{4 i}{n}

得出

a

的。

一个常见的错误是立即假设, 比如看到 $Δ x = \frac{4}{n}$ ‍，就认为边界区间是 $[0, 4]$ ‍。

最后的常见难点：不会分析表达式

有些学生根本不知道从哪里入手。

从求和表达式开始。你应该能够区分出两个要素：一个是格式 $\frac{k}{n}$ ‍ （其中 $k$ ‍ 不包含求和的项数 $i$ ‍），另一个是以 $i$ ‍ 为变量的表达式。从前者我们得到 $Δ x$ ‍ ，从后者我们得到 $f (x_{i})$ ‍。

问题 4

lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} \sqrt{4 + \frac{5 i}{n}} \cdot \frac{5}{n} = ?

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