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积分学

课程 9: 微积分基本定理与定积分

微积分基本定理的证明

微积分基本定理在微积分中非常重要(你甚至可以说它是基本定理!)它以两种等效的方式将导数和积分联系起来:

\begin{aligned} I.&\,\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt=f(x) \\\\ II.&\,\displaystyle\int_a^b\!\! f(x)dx=F(b)\!-\!\!F(a) \end{aligned}

这个定理的第一部分说，如果你把一个函数定义为另一个函数 f 的定积分，那么这个新函数就是 f 的不定积分。

这个定理的第二部分说, 为了找到 a 和 b 之间的 f 的明确积分, 要找到 f 的不定积分 F，然后算出 F, left parenthesis, b, right parenthesis, minus, F, left parenthesis, a, right parenthesis。

AP微积分课程并不要求我们证明这一事实，但我们相信只要去证明，我们就可以从中学习到东西。总得来说，想要证明你学到的定理总是一件好事。

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