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主要内容

复习广义积分

复习广义积分的知识.

什么是反常积分?

反常积分是覆盖无界区域的定积分。
一类反常积分是至少有一个端点被无限延伸的积分。例如: 11x2dx 是一个反常积分。它可以被看作是limb1b1x2dx的极限。
另一种反常积分是端点有限的积分,但积分函数在一个(或两个)端点处是无界的。例如,011xdx 是一个反常积分。它可以被看作是lima0+a11xdx的极限。
不是无限的无界区域?!这是真的吗?是哒!不是所有的反常积分都有一个有限的值,但其中一些确实有。当极限存在时,我们说积分是收敛的,当它不存在时,我们说它是发散的
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第一套题:用无界端点求反常积分

例如,让我们计算反常积分11x2dx。如上所述,可以将这个积分看作是limb1b1x2dx的极限。 我们可以用微积分基本定理 来求积分的表达式:
1b1x2dx=1bx2dx=[x11]1b=[1x]1b=1b(11)=11b
现在我们去掉了积分,并且需要找到一个极限:
limb1b1x2dx=limb(11b)=10=1
问题1.1
11x3dx=?
选出正确答案:

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第二套题:用无界函数求反常积分

例如,让我们计算反常积分011xdx。如上所述,这个积分可以看作是lima0a11xdx的极限。同样,我们可以用微积分的基本定理来求积分的表达式。
a11xdx=a1x12dx=[x1212]a1=[2x]a1=212a=22a
现在我们去掉了积分,并且需要找到一个极限:
lima0a11xdx=lima0(22a)=220=2
问题2.1
081Ax3dx=?
选出正确答案:

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