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积分学

课程: 积分学 > 单元 1

课程 1: 变化的累积简介
数学
积分学
积分
变化的累积简介
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探索变化的累积

Google课堂
定积分被理解为数量的累加。了解为什么这么说，以及如何使用它来分析现实中的问题。
定积分可用来计算实际情况中，量的累加与净变化。我们来看看具体是怎么做的。

考虑一个在实际生活中碰到的累加例子

正在给一个水池灌水，其速率是 start color #11accd, 5, start text, space, 升, slash, 分, 钟, end text, end color #11accd (升每分钟)，灌了 start color #ca337c, 6, start text, space, 分, 钟, end text, end color #ca337c。求灌水体积 (单位 start text, 升, end text) 。我们可以把灌水速率和时间相乘：
体积=时间×速率=6 分钟⋅5 升分钟=30分钟⋅升分钟=30 升\begin{aligned} \text{体积}&=\maroonD{\text{时间}}\times\blueD{\text{速率}} \\ &=\maroonD{6\,\text{分钟}}\cdot\blueD{5\,\dfrac{\text{升}}{\text{分钟}}} \\ &=30\dfrac{\cancel{\text{分钟}}\cdot\text{升}}{\cancel{\text{分钟}}} \\ &=30\,\text{升} \end{aligned}
现在用图像法来解题。速率也可以写成 r, start subscript, 1, end subscript, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, 5：
函数r1被绘制。 以分钟为单位的时间在x轴上，从0到10。速率（以每分钟升为单位）在y轴上。 该图是一条直线。 该直线从（0，5）开始，向右水平延伸，并在（10，5）处结束。
此图中的每个水平单位以（分钟）为单位，每个垂直单位以（升/分钟）为单位，因此每个平方单位的面积以（升）为单位：
start underbrace, start text, 分, 钟, end text, end underbrace, start subscript, start text, 宽, 度, end text, end subscript, dot, start underbrace, start fraction, start text, 升, end text, divided by, start text, 分, 钟, end text, end fraction, end underbrace, start subscript, start text, 高, 度, end text, end subscript, equals, start underbrace, start text, 升, end text, end underbrace, start subscript, start text, 面, 积, end text, end subscript
正方形代表图形上的一个单位。 水平的宽度表示分钟，垂直的高度表示升每分钟。 里面的面积代表升。 计算面积的公式是宽度乘以高度=面积，或者分钟乘以每分钟的升数=升。
此外，长方形面积是用r, start subscript, 1, end subscript以及横轴为界，在t, equals, 0与t, equals, 6之间，给我们灌水6分钟后的水体积：
图中是函数r1。 直线下的矩形区域被涂上阴影。 面积的区域是从0到6分钟和从每分钟0到5升 。 矩形的面积为6分钟乘以每分钟5升= 30升。
现在依然是这个灌水的例子，但是速率不再是恒定的：
r, start subscript, 2, end subscript, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, 6, sine, left parenthesis, 0, point, 3, t, right parenthesis
函数r2被绘制。 以分钟为单位的时间在x轴上，从0到10。以每分钟升为单位的速率在y轴上。 该图是曲线。 曲线开始于（0，0），向上移动，下凹到（5.2，6）附近；向下移动，同时下凹，结束于（10，0.8）附近。
我们怎么能够知道在 这个 水池里灌水 6 分钟后水的体积呢？想要知道答案，需要运用黎曼和近似地求出t, equals, 0和t, equals, 6 曲线下的面积。 方便起见，我们用1分钟宽的单位长方形来做近似估算。
上一个函数r2被绘制。 六个矩形条，每个是1个单位，即1分钟，从0到6分钟从水平轴垂直向上弯曲到曲线。 每个条向上移动，以使其右上角接触曲线。 从0到5的五个矩形的左上角顶点在曲线的外部。 每个矩形的曲线外侧都比前一个矩形少。 第六个完全在曲线内。 从左到右，这些矩形具有以下近似高度: 1.8、3.4、4.7、5.6、6、5.9。
我们看到了每个矩形如何代表以升为单位的体积。 具体来说，黎曼和中的每个矩形，就是每分钟添加到水池的水体积近似值。当我们把所有矩形面积相加，就是最后体积的累加，这样就能得到灌水6分钟后水的体积。
当矩形宽度更小时，就能得到更好的近似值。如果我们用无限多的矩形，可以得到定积分 integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 6, end superscript, r, start subscript, 2, end subscript, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t。这说明灌水 6 分钟后的实际水量等于 r, start subscript, 2, end subscript 曲线和水平轴上 t, equals, 0 与 t, equals, 6 之间围成的面积。
函数r2被绘制。 曲线与t-轴之间，在t = 1和t = 6之间的区域部分被涂上阴影。
所以，通过求解定积分，灌水 6 分钟后的水量为：
integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 6, end superscript, r, start subscript, 2, end subscript, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t, approximately equals, 24, point, 5, start text, 升, end text

数量变化率的定积分，表示该数量的净变化。

在我们看到的例子中，有一个描述 速率 的函数。具体来说，是体积相对时间的速率。 通过函数的定积分可以求出 体积—因为它的速率已经给定。
另外一个重要的特征是定积分的 时间间隔 。在我们的例子中，即 left parenthesis, t, equals, 0, right parenthesis 开始后的 6 分钟 left parenthesis, t, equals, 6, right parenthesis。所以不定积分给出了水池中t, equals, 0到 t, equals, 6水体积的净变化 。
可以从两方面来理解定积分，它描述了某个量的 累加 ，所以完整的定积分表示该量的 净变化 。

为什么是量的 "净变化" 而不是量本身？

在上面的例子中，请注意我们并不知道 t, equals, 0 之前 的水量。如果水池本来是空的，那么 integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 6, end superscript, r, start subscript, 2, end subscript, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t, approximately equals, 24, point, 5, start text, 升, end text 的确是灌水 6 分钟后的水量。但如果水池本来有水，假设原有 7 升的水，那么灌水 6 分钟后的实际水量为：
start underbrace, 7, end underbrace, start subscript, start text, 水, 量, 在, space, end text, t, equals, 0, end subscript, plus, start overbrace, integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 6, end superscript, r, start subscript, 2, end subscript, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t, end overbrace, start superscript, start text, 水, 量, 的, 变, 化, 从, space, end text, t, equals, 0, start text, space, 到, space, end text, t, equals, 6, end superscript
总水量大约为 7, plus, 24, point, 5, equals, 31, point, 5, start text, space, 升, end text。
注意： 定积分能够让我们知道一个量的净变化，而不是那个量本身的值。 要求出量的具体值，我们需要给定积分加上一个初始条件。
问题 1.A
  • 当前
问题集一将引导你分析一个涉及累加的情况：
在 时间 t，一群细菌的生长率为 r, left parenthesis, t, right parenthesis 克每天，其中 t 以天计。
函数r被绘制。 以天为单位的时间在x轴上，范围是0到10。在y轴上，以克/天为单位的增长率。 该图是曲线。 曲线从（0，1）开始，上凹地向上移动，经过（8，5），然后在（10，7.3）附近结束。 阴影和曲线在x轴之间的区域位于t = 0和t = 8之间。
定积分 integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 8, end superscript, r, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t 的单位是什么？
选出正确答案：

常犯的错误：使用了错误的单位

与许多问题一样，这里单位的含义也很重要。记住如果 r 是一个以 start fraction, start color #11accd, start text, 量, space, A, end text, end color #11accd, divided by, start color #ca337c, start text, 量, space, B, end text, end color #ca337c, end fraction 计的速率，那么它的定积分就是以 start color #11accd, start text, 量, space, A, end text, end color #11accd 计。
例如，在问题集一中，r 是以 start fraction, start color #11accd, start text, 克, end text, end color #11accd, divided by, start color #ca337c, start text, 天, end text, end color #ca337c, end fraction 计，所以 r 的定积分就是以 start color #11accd, start text, 克, end text, end color #11accd 计。
问题2
伊顿以 r, left parenthesis, t, right parenthesis 千米每小时的速度走路 (其中 t 的单位为小时)。
integral, start subscript, 2, end subscript, cubed, r, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t, equals, 6 代表什么？
选出正确答案：

常犯的错误：错误理解积分区间

对于任意的速率 r，定积分 integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, b, end superscript, r, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t 描述了 t, equals, a 和 t, equals, b 之间 的累积量。
一个常见的错误是忽视了其中一个边界 (特别是下边界)，从而导致理解错误。
比如，在问题二中，如果把 integral, start subscript, 2, end subscript, cubed, r, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t 看成是 3 小时内走的距离就是错误的。下边界是 2，所以 integral, start subscript, 2, end subscript, cubed, r, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t 是伊顿在第 2 小时和第 3 小时之间走的距离。另外，如果时间的间隔正好是一个单位，我们常可以说 "在第 3 小时之内。"
问题3
朱丽叶的收入是 r, left parenthesis, t, right parenthesis 千美金每月（其中 t 代表一年的月份）。朱丽叶在该年的第一月赚了 3 千美金。
3, plus, integral, start subscript, 1, end subscript, start superscript, 5, end superscript, r, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t, equals, 19 代表什么？
选出正确答案：

常犯的错误：忽略初始条件

对于一个速率函数 f 和反导数 F 来说，定积分 integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, b, end superscript, f, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t 代表了 F 在 t, equals, a 和 t, equals, b 中的变化。如果加上一个初始条件，我们可以得到一个具体的 F 值。
比如，在问题三中，integral, start subscript, 1, end subscript, start superscript, 5, end superscript, r, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t 代表了朱丽叶在第 1 个月和第 5 个月之间的赚钱总数。但由于我们加上了 3，即朱丽叶第 1 个月赚的钱，这个表达式代表了在第 5 个月时的赚钱总数。

与应用变化率相关联

在微分学中，我们学习了函数 f 的导数 f, prime 代表了该函数 f 在给定情况下的瞬时变化率。现在我们反过来看一下！对于任意的变化率函数 f，它的反导数 F 代表了量的累加值，其变化速率为 f。
量变化速率
微分学f, left parenthesis, x, right parenthesisf, prime, left parenthesis, x, right parenthesis
积分学F, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, x, end superscript, f, left parenthesis, t, right parenthesis, d, tf, left parenthesis, x, right parenthesis
问题 4
函数 k, left parenthesis, t, right parenthesis 代表在一家番茄酱厂某一天花 t （单位：小时）生产番茄酱 （单位：千克）的量。
integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 4, end superscript, k, prime, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t 代表什么？
选出正确答案：

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