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函数和的积分

如果你知道两个函数的积分, 它们的和的积分是什么?

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视频字幕

这里,我们有两个函数, 这是 y=f(x) 的图像, 这是 y=g(x) 的图像, 我们已经知道一些知识, 我们知道表示 曲线 y=f(x) 下面 在 x=a 和 x=b 之间的面积的方法, 就是这个面积, 在曲线和 x 轴之间 在 x=a 和 x=b 之间, 我们知道,我们可以把它写成 从 a 到 b 的 f(x) dx 的定积分。 这里,我们也可以同样这样做。 我们可以叫这个面积, 我来选一个我还没有用过的颜色, 好,就用这个稍有不同的绿色。 我可以叫这个这里这个面积 在曲线 y=g(x) 下面, 在正的 x 轴的上面, 在 x=a 和 x=b 之间, 我们可以叫它 g(x) dx 从a 到 b 的定积分。 现在, 已知这两个表达式, 我们来考虑 由这两个函数的和所构成的函数曲线下的面积。 我的意思是什么呢? 这是个很有趣的事, 咱们开始。 这和这里完全一样, 这是 y=f(x) 的图像, 但是我想做的是近似地给出 y 的图像。 我的目标是, 给出 y=f(x) + g(x) 的图像, 对于任何给定的 x ,这是 f(x), 这就是 f(x), 然后我要给它加上 g(x), 那将是什么样呢? 它就是--来看-- 当 x=0,g(x) 大概是这个长度, 显然,我给出的是它的近似表示, 我需要在这里加上这个长度, 它大概就在这里吧, 在 x=a,它要再多一点, 但是现在,我的 f(x) 已经增加了, 我要在它上面取同样距离, 如果这里我加上 g(x), 就得到大概到这里了 在说一遍,我只是目测, 得到一个近似, 让我对 f(x) + g(x) 有一个直观认识 我是对一个给定的x 加上 g(x), 然后我们来看, 在 a 和 b 之间, g(x) 大概是这个距离, 如果我要把这个距离放在这里, 大概就能到这里, 然后,当 x=b,g(x) 大概这么大, 我要加上这个长度, 大概就是这个样子。 实际上这有点太多了, 或许应该是这样。 这样,如果我把它们两个相加, 我就得到这样的一个曲线 或许它会一直向上走,越来越高 好, 这就是它的曲线 这就是一个对 f(x) + g(x) 的很好的近似 现在,有意思的问题就是, 你知道我们可以表示这个面积, 那么,在曲线 f(x)+g(x) 下面, 在正的 x 轴上面, 在x=a 和 x=b 之间的面积是什么? 我们知道我们可以把它表示为, 我看看,我还没有用过粉红色, 这里的这个面积, 我们知道可以表示为 (f(x)+g(x)) dx 的 从 a 到 b 的定积分 现在的问题是, 它与 这些表达式有什么关系, 或者说这个面积 与这些面积有什么关系? 重要的是我们要认识到, 这个黄色的面积, 就是这里的面积, 这一点很明确。 但是这个绿色面积和这个面积什么关系呢? 要考虑这个问题, 我们必须对积分的含义有很好的理解, 它表示什么意思? 我们已经知道 这些很小的矩形 我们是在取 无限多的这些无限小的矩形的极限和。 当我们在考虑黎曼和时, 我们就是在想,我们在x 有一个变化, 你把它乘以它的高度, 这个高度就是 那个函数在这一点的值, 好, 在这里,你有同样的 x 的变化, 有完全相同的 x 的变化, 这里的这个高度是什么? 它就是和这里完全相同的高度, 在我们做出这个曲线时,你看到的。 这就是 g(x) 在那一点的值。 所以,尽管看起来这个矩形 有些平移, 它实际上时上移了 f(x) , 我画在这里的 矩形的高度 和我画在这里的 矩形的高度是完全相同的。 再说一遍, 它们只是上下平移 f(x) 的距离。 但它们是完全相同的矩形, 它们有完全相同的高度。 当你让它们越来越薄,从而 这些矩形越来越多,它的极限 就会和这些越来越薄 越来越多的矩形的极限相同。 这里的这个面积, --显然,我不是在进行严谨的证明, 而只是给你们直观的解释-- 就和这个面积完全相等。 那么在这个曲线下面的面积 (f(x) + g(x)) dx 从 a 到 b 的定积分 就等于这两个定积分的和。 你会说,奥,这很明显, 或者说,这不很明显 但是,它在什么时候有用呢? 以后,在你们学习 求解积分值时, 你就会看到,最有用的概念之一, 就是对积分进行分解, 比如,我要求 x平方 + sin(x) 的从 0 到 1 的定积分, 这你们或者已经学过,或许还没有学过, 至少,你可以把它们分开, 你可以说,好,它应该等于 x平方 dx 从 0 到 1 的积分 加上 sin(x) dx 从 0 到 1 的积分。 你会看到 这是定义积分的一个强有力的原理。 在你开始计算积分时, 或者有时从概念上理解积分的含义时,它都是很有用的。