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主要内容

单点上的定积分

当积分的两个边界是同一点时会怎样?

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视频字幕

我们已经做过定积分, 我们已经看到,它们怎样 表示两点之间 函数下面,x 轴上面的面积。 今天我们要做个有趣的事, 我们来考虑 f(x) dx 的定积分, 它是曲线 f(x)下面的面积,但不是 两个不同的 x 值 比如我们多次看到的 a 和 b之间, 而是在相同的值之间, 这里就是 在 c 和 c 之间。 c 就在这里。 你觉得 它应该等于什么? 它表示什么? 它等于什么? 我鼓励你们暂停视频, 考虑一下。 如果你观察它, 在曲线 f(x) 下面, x 轴上面,从 x=c 到 x=c , 也就是这个区域,我猜你可以叫它-- 我们想想,它确实有一个高度, 这个高度就是f(c), 宽度是什么? 没有宽度,我们是在一个点上。 我们不是从 c 加上 Δx 或者说 c 加上一个非常小的 x 的变化 或者说 c 加上一个非常小的值, 我们只是在 c 这一点 当我们考虑面积,我们就是在考虑 你所取的一个二维空间有多大, 而这个只有一个维度, 我想,你可以把它看作一个线段 一个线段的面积是什么? 一个线段没有面积, 所以这个线段 面积为 0 现在,你会说,我懂了, 我知道它有道理, 为什么直观上说起来,它有道理 我是在试图找到一个矩形的面积, 我知道它的高度,但它的宽度为 0 , 所以它的面积就会是 0, 这是一种考虑方法 但是,为什么我要指出这一点? 我们会看到,特别是当我们做一些更加复杂的 定积分的题目,在求解过程中, 有时我们会意识到它可以帮助你 大大简化积分运算, 或者你可以让它能够变成这个样子, 然后你可以消掉它, 或者你可以说, 这里,它等于 0