sin^2(x) cos^3(x)的积分

我们看是否能够求解 sin平方(x) cos的3次方(x) dx 的不定积分。 和往常一样，请暂停视频， 看看你自己是否能做出来 好，当你看到这个题， 你会说，如果它只是一个 sin(x)， 不是sin平方(x)， 它就是 cos(x)的导数的负值。 或许我可以使用 u 换元积分法， 同样，如果它只是一个 cos(x)， 而不是 cos的3次方(x)，我就可以用 u换元法， 我可以让 u=sin(x)， 但是，我不能在这里用它。 这里的主要想法是 有没有一项是奇数指数，我们看到 的确有一项的指数是奇数，这个cos(x)就有奇数指数。 我们要做的就是 对这个表达式进行代数处理， 以便可以使用 u 换元法。 方法就是，如果你有像这样奇数指数， 把一个cos(x)提出来， 然后对剩下的cos平方(x)，使用三角恒等式， 我的意思是什么呢？ 我来重写一下，它可以写成 sin平方(x)乘以—— 我这样写， 乘以cos平方(x) 乘以cos(x)， 我刚才做的就是我把某些项的3次方 重新写成这项的2次方 乘以这项的1次方，dx， 这个表达式就能写成 sin平方(x) 然后我要用三角恒等式 把它变成 1-sin平方(x)， 这样，通过三角恒等式， 它和 1-sin(x)平方是一样的。 然后，我们有 cos(x) 乘以cos(x）dx， 现在，我把这个 sin平方(x)和 1-sin平方(x)分别相乘， 我们得到 我用一种新颜色，就用它吧， 这样就是不定积分 sin平方(x)乘以 1 是 sin平方(x)， sin平方(x)乘以 -sin平方(x)就是 -sin4次方(x)。 然后，所有这些乘以 cos(x)， 所有这些乘以cos(x) dx， 现在，它开始看起来有意思了， 因为我有sin平方(x)-sin4次方(x)， 但是我有sin(x)的导数等在这里， 我有cos(x)， 这就是我刚才对它进行代数处理的原因。 现在，u 换元法可以很好地被用在这里了 因为，如果我-—— 我用另一种颜色，我要用紫色， 如果我设 u=sin(x)，那么 du = cos(x) dx， 这样很好， 因为我们这里有了du， 那么它就等于 u平方 - u4次方， 这些我们知道怎样求它们的反导数， 这样，困难的部分已经过去了， 我们可以把它重写， 不写sin平方(x)了，我们说sin(x) 就是 u， 我们可以把它写成 u平方 减去 u的4次方 乘以 du， 这相当简单， 它就是 u的3次方/3 减去 u的5次方/5 加 c， 然后，我们只需把它们反向代入， 我们就得到，这里不是 u 了， 这里，我们要放 sin(x)， 我们就得到 sin3次方(x) sin3次方(x)/3 减去 sin5次方(x)—— 我把这个 5 字重新写一下， sin5次方(x)/5， 加上 c， 我们就做完了！