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sin^4(x)的积分

这里有些涉及到,我们可以使用 u-代入法来计算 sin^4(x) 的积分.

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视频字幕

我们来看一下 是否可以求解sine x的4次方的不定积分 如同往常一样,我鼓励你们暂停视频 看看是否可以独立解答出来 好,如果我们有一个奇数的指数在里面 无论是sine 还是cosine 那么,我将使用的方法是, 比如这里是sine x的3次方 我会把它拆出一个sine x来 把它写成sine x 平方 乘以 sine x 然后我把它 用勾股定理来转换 然后将sine x分配过去 我应该可以使用u替代方法 我们在此前的例题视频中已经做过了 你可以同样练习一下 cosine x的3次方这个积分,或者,5次方 乃至7次方,找一个奇数指数 但是这里我们是个偶数的指数 我们如何处理? 我们使用的方法 我想,有些像戏法 我们所使用的方法 再次的,你想用算术的方式来运算, 从而能够使用 我们熟悉的积分方法 在本例中,我们想运用 倍角公式 倍角公式是说,sine x的平方 等于1/2乘以1减去cosine 2x 这里我如何运用它呢? 我们原始的积分,也就是等于 这个等于是sine x平方, 这里的全部再平方,dx,的积分 现在,我们可以做替换了 这个就等于是这个 按照倍角公式, 也就等于是这个 所以,我可以将它改写为 1/2乘以1减去cosine 2x 然后所有这些再平方,dx,然后积分 这个等于是什么? 它会等于,我们看一下 1/2平方是1/4,我可以把它拿出来 所以,我们得到1/4乘以... 我把所有这些取平方 1的平方是1,减去2cosine 2x 加上cosine 2x的平方,dx 直接求不定积分 或者说是这两项的不定积分 我这里做了什么? 再次,我得到了一个偶数指数 我们再对cosine运用倍角公式 我们知道cosine 2x的平方 等于1/2乘以1加上 cosine 两倍这个角,所以,是4x 再次,使用替换 这个等于 实际上,我这样写, 1/4, 然后,也许我应该换一下 我换这个颜色 1/4乘以1减去2cosine 2x乘以1/2 把1/2分配一下 加上1/2,加上1/2cosine 4x, dx 我看一下,我取出这个1/2,加到这个里 得到3/2 然后加起来,得到3/2 让我把这个重新写一下 这个等于1/4乘以 3/2减去2 cosine 2x的积分 4x的导数是4, 如果这里有一个4的话就好了 我把它1/2改写成4/8 我只是同时乘以,除以4 这是一种思考它的角度 所以,我可以说,加上1/8,乘以4 cosine 4x 我这么做是为了 理论上,我们可以使用u替代方法 但是,我们已经练习很多次了 我有一个函数,有它的导数 我可以在这里对4x 来求积分 我想,你可以说,它是反向链式规则 这个也其实就是u替代方法 现在我们准备好了,可以积分了 它等于 我们快结束了 1/4乘以3/2 x 2x的导数在这里, 所以会是减去sine 2x 我们可以这个是这个的导数 它会是2cosine 2x 在这里 加上1/8乘以sine 4x sine 4x的导数 是4cosine 4x 就是我们这里这个 然后,最后,我们写上 加上c,加上一个常量 这是一个不定积分 我们计算完了 这个不是最简单的题目 但是也算是困难的 解答出来就很有成就感