cos^3(x)的积分

我们来看是否能够 求出cos(x) 的3次方的不定积分。 我鼓励你们暂停视频 看你们自己是否能做出来。 你们已经开始求解，或许你们遇到了障碍。 有些同学已经能够解出来， 但是有些同学可能碰到障碍了。 你会这样说，“好吧，cos的3次方(x)， 唉，如果这里我只有cos 的导数， 如果这里 我有 -sin(x)，或者 sin(x) 或许我就能用 u 换元法， 但是我怎么求解 cos的3次方(x)的反导数呢？ 这里的关键在于 应用一些基本的三角恒等式。 这是什么意思呢？ 我们知道 sin平方 (x) + cos平方 (x) = 1， 我们如果从两边减去 sin平方 (x)， 我们得到 cos平方 (x) 等于 1 ——这样写 等于 1-sin平方 (x) 那么cos的3次方 (x)是什么？ 它就是cos平方 (x)乘以cos(x)。 我们取这个cos平方 (x) 看看能怎样？ 我来重写它， 它和 cos(x)乘以cos平方 (x) dx 是相同的， 我们来看这里这一项， 我用洋红色， 我们看这一项， 如果我们用它来替代它，会怎样呢？ 我知道你们现在怎么想， “唉，这样做干什么？ 我觉得这样使得这个积分 更加复杂了” 我要告诉你， 它看起来更复杂了， 但是你会发现，你和它周旋， 你会看到它实际上 让积分更容易求解了。 我们来尝试一下。 这一项应该等于 cos(x)乘以 （1-sin平方 (x)）dx 的不定积分， 它等于什么？ 它就等于-- 我们用绿色来做。 它就等于 不定积分 cos(x) -- 我用 cos(x) 分别相乘， cos(x) 减去 cos(x)乘以sin平方(x)， 然后加括号，dx， 这一项，显然等于 cos(x) dx 的积分， 我们知道它等于什么，减去积分-- 我变成一个颜色， cos(x) 乘以 sin平方(x) dx， 现在，它变得有意思了， 这一部分很简单， cos(x) 的反导数就是 sin(x)， 这里就等于 sin(x)， 我在最后再考虑加 c 的问题， 因为它们两个都有加 c 的问题， 最后加一个 c 就可以了。 它是 sin(x)， 那这里是什么呢？ 你或许已经意识到，我有一个函数 sin(x)， 我取 sin(x)的乘方， 然后，这里我有sin(x) 的导数 这里第一项，我有一个函数的导数， 然后，我有另一个-- 我想你会说 一个那个函数的函数， g(f(x))， 这预示 u 换元法可以进行， 我们已经多次看到过这种形式， 因此你可以说， OK，如果我有一个函数的函数， 而且我有那个函数的导数， 那么，我可以 求对于这个函数的反导数。 它就等于， 大写 G， 是这个小写的 g 的反导数， 大写的 G(f(x))加 C， 如果我刚才讲的不好理解， 那么我们可以做一下 u 换元法， 我们一步一步地做。 我们就这样来做，因为我想让它更容易理解 这是这个视频的目的所在 我们说， u=sin(x) , 然后，du=cos(x)dx 这一项和这一项就是 du， 它就是 u平方， 减去， 我们有 u平方 du 的积分， 它等于什么？ 它就是，我们会得到 -u的3次方除以3， 我们知道u 是什么， u=sin(x)， 积分的第一部分， 我们有 sin(x)， 第一个积分，我们有sin(x)，然后 减去--我这样写-- 减去 1/3 不写 u的3次方，我们知道 u=sin(x), sin(x)的3次方， 现在，我们可以放上 加 C 了， 我们做完了。 我们刚才求解了这个不定积分， 关键在于使用一些 三角恒等式，这样 你就可以找到 使用反链规则或者说 u 换元积分的机会， 换元积分 只是表达反链规则的另一种方式。