主要内容
积分学
以求和符号表示的黎曼和
求和符号可用于以紧凑的方式来表示黎曼求和.这是朝着定积分的正式定义迈出的具有挑战性、但重要的一步.
使用求和表示法(或西格玛表示法),我们可以使用一个简单表达式表示一个长的加法的总表达式。虽然求和表示法在整个数学(特别是微积分)中有许多用途,但我们重点研究如何使用它来表示黎曼和。
用求和表示法写出黎曼和的示例
假设我们要用近似法求出图形 f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, square root of, x, end square root 介于 x, equals, 0, point, 5 和 x, equals, 3, point, 5之间的面积。
我们决定使用求和表示法,用四个相等的细分区域,写出右黎曼和表达式,来近似。
让 A, left parenthesis, i, right parenthesis 表示第 i, start superscript, start text, t, h, end text, end superscript 个长方形的面积。
整个黎曼和可以写成下面的算式:
我们现在需要做的是找到 A, left parenthesis, i, right parenthesis 的表达式。
该面积覆盖的宽度区间是 open bracket, 0, point, 5, comma, 3, point, 5, close bracket ,即 3 个单位,我们要把它平均分成 4 个细分区域,因此每个长方形的 start color #1fab54, start text, 宽, 度, end text, end color #1fab54 是 3, divided by, 4, equals, start color #1fab54, 0, point, 75, end color #1fab54 单位。
每个长方形的 start color #e07d10, start text, 高, 度, end text, end color #e07d10 是该图形右端点的函数值 f (因为这是右黎曼和)。
让 start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd 表示第 i, start superscript, start text, t, h, end text, end superscript 个长方形的右端点。要找出对于任意取值为 i 的 x, start subscript, i, end subscript 值,我们从 x, equals, 0, point, 5 开始(区间的左端点),重复加上固定宽度 start color #1fab54, 0, point, 75, end color #1fab54 。
因此, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd 的公式就是 start color #11accd, 0, point, 5, plus, 0, point, 75, i, end color #11accd。每个长方形的 start color #e07d10, start text, 高, 度, end text, end color #e07d10 是该矩形右端点的函数值 f :
现在,我们就可以写出第 i, start superscript, start text, t, h, end text, end superscript 个长方形的面积的通用表达式:
最后,就是将此表达式当 i 从1 到 4 的取值结果进行求和:
完成了!
总结用求和表示法,写出黎曼和的过程
假设我们要用近似法求出函数 f 介于 open bracket, a, comma, b, close bracket 区间,由 n 个相等的细分区域构成的图形面积。
定义 delta, x: 让 start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54 表示每个矩形的 start color #1fab54, start text, 宽, 度, end text, end color #1fab54 ,那么 start color #1fab54, delta, x, equals, start fraction, b, minus, a, divided by, n, end fraction, end color #1fab54。
定义 x, start subscript, i, end subscript: 让 start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd 表示每个矩形的右端点,那么 start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, equals, a, plus, delta, x, dot, i, end color #11accd。
定义第 i, start superscript, start text, t, h, end text, end superscript 个矩形的面积: 每个矩形的 start color #e07d10, start text, 高, 度, end text, end color #e07d10 是 start color #e07d10, f, left parenthesis, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, right parenthesis, end color #e07d10,该矩形的面积为 start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, dot, start color #e07d10, f, left parenthesis, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, right parenthesis, end color #e07d10。
求和总矩形面积: 用求和表示法将每个矩形面积求总和。对于左黎曼和与右黎曼和, i 的取值是不同的。
- 对于 右 黎曼和, i 的取值时从 1 到 n。
- 对于 左 黎曼和, i 的取值从 0 到 n, minus, 1( 对每个矩形的 左 端点的函数值 f )。
左黎曼和 | 右黎曼和 |
---|---|
sum, start subscript, i, equals, 0, end subscript, start superscript, n, minus, 1, end superscript, start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, dot, start color #e07d10, f, left parenthesis, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, right parenthesis, end color #e07d10 | sum, start subscript, i, equals, 1, end subscript, start superscript, n, end superscript, start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, dot, start color #e07d10, f, left parenthesis, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, right parenthesis, end color #e07d10 |
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