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主要内容

积分学

课程: 积分学 > 单元 1

课程 4: 以求和符号表示的黎曼和
数学
积分学
积分
以求和符号表示的黎曼和
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以求和符号表示的黎曼和

Google课堂
求和符号可用于以紧凑的方式来表示黎曼求和.这是朝着定积分的正式定义迈出的具有挑战性、但重要的一步.
使用求和表示法（或西格玛表示法），我们可以使用一个简单表达式表示一个长的加法的总表达式。虽然求和表示法在整个数学（特别是微积分）中有许多用途，但我们重点研究如何使用它来表示黎曼和。

用求和表示法写出黎曼和的示例

假设我们要用近似法求出图形 f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, square root of, x, end square root 介于 x, equals, 0, point, 5 和 x, equals, 3, point, 5之间的面积。
函数 y = x的平方根已绘制。x轴从 0 到 4 。图形是条曲线。 曲线开始于 (0, 0), 向上移动, 结束于 (4, 2) 。曲线与x轴之间的区域，在x=0.5与x=3.5之间的区域涂上了阴影。
我们决定使用求和表示法，用四个相等的细分区域，写出右黎曼和表达式，来近似。
函数y图像如图所示，阴影区域可被分为4个宽为0.75的矩形。每个矩形的右上角都落在曲线上。
让 A, left parenthesis, i, right parenthesis 表示第 i, start superscript, start text, t, h, end text, end superscript 个长方形的面积。
矩形的面积分别为A(1)，A(2)，A(3)和A(4)。
整个黎曼和可以写成下面的算式:
A, left parenthesis, 1, right parenthesis, plus, A, left parenthesis, 2, right parenthesis, plus, A, left parenthesis, 3, right parenthesis, plus, A, left parenthesis, 4, right parenthesis, equals, sum, start subscript, i, equals, 1, end subscript, start superscript, 4, end superscript, A, left parenthesis, i, right parenthesis
我们现在需要做的是找到 A, left parenthesis, i, right parenthesis 的表达式。
该面积覆盖的宽度区间是 open bracket, 0, point, 5, comma, 3, point, 5, close bracket ，即 3 个单位，我们要把它平均分成 4 个细分区域，因此每个长方形的 start color #1fab54, start text, 宽, 度, end text, end color #1fab54 是 3, divided by, 4, equals, start color #1fab54, 0, point, 75, end color #1fab54 单位。
每个长方形的 start color #e07d10, start text, 高, 度, end text, end color #e07d10 是该图形右端点的函数值 f （因为这是右黎曼和）。
让 start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd 表示第 i, start superscript, start text, t, h, end text, end superscript 个长方形的右端点。要找出对于任意取值为 i 的 x, start subscript, i, end subscript 值，我们从 x, equals, 0, point, 5 开始（区间的左端点），重复加上固定宽度 start color #1fab54, 0, point, 75, end color #1fab54 。
第一个矩形的左边位于x = 0.5。分别加4次0.75，可得到由x1至x4的所在的长方形的边。
因此， start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd 的公式就是 start color #11accd, 0, point, 5, plus, 0, point, 75, i, end color #11accd。每个长方形的 start color #e07d10, start text, 高, 度, end text, end color #e07d10 是该矩形右端点的函数值 f ：
start color #e07d10, f, left parenthesis, end color #e07d10, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10, equals, start color #e07d10, square root of, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, end square root, end color #e07d10, equals, start color #e07d10, square root of, start color #11accd, 0, point, 5, plus, 0, point, 75, i, end color #11accd, end square root, end color #e07d10
现在，我们就可以写出第 i, start superscript, start text, t, h, end text, end superscript 个长方形的面积的通用表达式：
A(i)=宽度⋅高度=0.75⋅0.5+0.75i\begin{aligned} A(i)&=\greenD{\text{宽度}}\cdot\goldD{\text{高度}} \\\\ &=\greenD{0.75}\cdot\goldD{\sqrt{\blueD{0.5+0.75i}}} \end{aligned}
最后，就是将此表达式当 i 从1 到 4 的取值结果进行求和：
=A(1)+A(2)+A(3)+A(4)=∑i=14A(i)=∑i=140.75⋅0.5+0.75i\begin{aligned} &\phantom{=}A(1)+A(2)+A(3)+A(4) \\\\ &=\displaystyle\sum_{i=1}^4 A(i) \\\\ &=\displaystyle\sum_{i=1}^4 0.75\cdot\sqrt{0.5+0.75i} \end{aligned}
完成了！

总结用求和表示法，写出黎曼和的过程

假设我们要用近似法求出函数 f 介于 open bracket, a, comma, b, close bracket 区间，由 n 个相等的细分区域构成的图形面积。
定义 delta, x： 让 start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54 表示每个矩形的 start color #1fab54, start text, 宽, 度, end text, end color #1fab54 ，那么 start color #1fab54, delta, x, equals, start fraction, b, minus, a, divided by, n, end fraction, end color #1fab54。
定义 x, start subscript, i, end subscript： 让 start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd 表示每个矩形的右端点，那么 start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, equals, a, plus, delta, x, dot, i, end color #11accd。
定义第 i, start superscript, start text, t, h, end text, end superscript 个矩形的面积： 每个矩形的 start color #e07d10, start text, 高, 度, end text, end color #e07d10 是 start color #e07d10, f, left parenthesis, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, right parenthesis, end color #e07d10，该矩形的面积为 start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, dot, start color #e07d10, f, left parenthesis, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, right parenthesis, end color #e07d10。
求和总矩形面积： 用求和表示法将每个矩形面积求总和。对于左黎曼和与右黎曼和， i 的取值是不同的。
  • 对于 右 黎曼和， i 的取值时从 1 到 n。
  • 对于 左 黎曼和， i 的取值从 0 到 n, minus, 1（ 对每个矩形的 左 端点的函数值 f ）。
左黎曼和右黎曼和
sum, start subscript, i, equals, 0, end subscript, start superscript, n, minus, 1, end superscript, start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, dot, start color #e07d10, f, left parenthesis, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, right parenthesis, end color #e07d10sum, start subscript, i, equals, 1, end subscript, start superscript, n, end superscript, start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, dot, start color #e07d10, f, left parenthesis, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, right parenthesis, end color #e07d10
问题 1.A
  • 当前
通过问题 1 ，我们来回顾一下用近似法求面积的步骤。本题中，我们运用 左黎曼和 ，通过将该面积等分为 10 个细分，求函数 f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0, point, 1, x, squared, plus, 1 在 x-轴介于 open bracket, 2, comma, 7, close bracket 区间时的面积。
函数f图像如图所示。x轴显示范围从-1到9。该函数图形为一条曲线，始于第二象限，向下移动到(1,0)处的相对最小值后，向上移动并停留在第一象限。阴影区域由曲线和x轴构成，位于x = 2和x = 7之间 。
每个矩形的长度 start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54是多少？
start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, equals
  • 你的答案是
  • 一个整数，例如 6
  • 一个最简真分数,如 3, slash, 5
  • 一个最简假分数,如 7, slash, 4
  • 一个混合带分数，例如 1, space, 3, slash, 4
  • 一个精确的十进位小数，例如0, point, 75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$

问题2
我们要运用 右黎曼和 ，通过将该面积等分为 9 个细分，求函数 g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, 5, divided by, x, end fraction, plus, 2 在当 x-轴取值介于区间 open bracket, 1, comma, 7, close bracket 的图形面积：
函数g图像如图所示。x轴显示范围由从1到7。该函数图像是一条曲线，始于第一象限，往下行而且上凹，始终停留在第一象限。曲线和x轴之间的阴影区域在x = 1到x = 7之间。阴影区域可以被分为9个等宽矩形。每个矩形的右上角都在曲线上。
以下哪个表达式表示我们的近似计算结果？
选出正确答案：

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