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主要内容

以求和符号表示的黎曼和

求和符号可用于以紧凑的方式来表示黎曼求和.这是朝着定积分的正式定义迈出的具有挑战性、但重要的一步.
使用求和表示法(或西格玛表示法),我们可以使用一个简单表达式表示一个长的加法的总表达式。虽然求和表示法在整个数学(特别是微积分)中有许多用途,但我们重点研究如何使用它来表示黎曼和。

用求和表示法写出黎曼和的示例

假设我们要用近似法求出图形 f(x)=x 介于 x=0.5x=3.5之间的面积。
我们决定使用求和表示法,用四个相等的细分区域,写出右黎曼和表达式,来近似。
A(i) 表示第 ith 个长方形的面积。
整个黎曼和可以写成下面的算式:
A(1)+A(2)+A(3)+A(4)=i=14A(i)
我们现在需要做的是找到 A(i) 的表达式。
该面积覆盖的宽度区间是 [0.5,3.5] ,即 3 个单位,我们要把它平均分成 4 个细分区域,因此每个长方形的 宽度3÷4=0.75 单位。
每个长方形的 高度 是该图形右端点的函数值 f (因为这是右黎曼和)。
xi 表示第 ith 个长方形的右端点。要找出对于任意取值为 ixi 值,我们从 x=0.5 开始(区间的左端点),重复加上固定宽度 0.75
因此, xi 的公式就是 0.5+0.75i。每个长方形的 高度 是该矩形右端点的函数值 f
f(xi)=xi=0.5+0.75i
现在,我们就可以写出第 ith 个长方形的面积的通用表达式:
A(i)=宽度高度=0.750.5+0.75i
最后,就是将此表达式当 i14 的取值结果进行求和:
=A(1)+A(2)+A(3)+A(4)=i=14A(i)=i=140.750.5+0.75i
完成了!

总结用求和表示法,写出黎曼和的过程

假设我们要用近似法求出函数 f 介于 [a,b] 区间,由 n 个相等的细分区域构成的图形面积。
定义 ΔxΔx 表示每个矩形的 宽度 ,那么 Δx=ban
定义 xixi 表示每个矩形的右端点,那么 xi=a+Δxi
定义第 ith 个矩形的面积: 每个矩形的 高度f(xi),该矩形的面积为 Δxf(xi)
求和总矩形面积: 用求和表示法将每个矩形面积求总和。对于左黎曼和与右黎曼和, i 的取值是不同的。
  • 对于 黎曼和, i 的取值时从 1n
  • 对于 黎曼和, i 的取值从 0n1( 对每个矩形的 端点的函数值 f )。
左黎曼和右黎曼和
i=0n1Δxf(xi)i=1nΔxf(xi)
问题 1.A
通过问题 1 ,我们来回顾一下用近似法求面积的步骤。本题中,我们运用 左黎曼和 ,通过将该面积等分为 10 个细分,求函数 f(x)=0.1x2+1x-轴介于 [2,7] 区间时的面积。
每个矩形的长度 Δx是多少?
Δx=
  • 你的答案是
  • 一个整数,例如 6
  • 一个最简真分数,如 3/5
  • 一个最简假分数,如 7/4
  • 一个混合带分数,例如 1 3/4
  • 一个精确的十进位小数,例如0.75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$

问题2
我们要运用 右黎曼和 ,通过将该面积等分为 9 个细分,求函数 g(x)=5x+2 在当 x-轴取值介于区间 [1,7] 的图形面积:
以下哪个表达式表示我们的近似计算结果?
选出正确答案:

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