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主要内容

积分学

课程: 积分学 > 单元 1

课程 2: 用黎曼和近似
数学
积分学
积分
用黎曼和近似
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左黎曼和以及右黎曼和

Google课堂
曲线下面积可以用一些长方形来估计。这种估计法叫做“黎曼和”。
假设我们想要求出此曲线下的面积:
函数如图所示，x轴无显示刻度。函数图像是一条曲线，位于y轴正方向，上凹且上行至第一象限。阴影区域由该曲线，x轴，及y轴构成 。
我们可能很难找到确切的面积, 但我们可以使用矩形来估计:
曲线下方的阴影部分被分为4个等宽矩形。 每个矩形的左上角均位于曲线上，因此随着x值的增大，矩形一个比一个高。
如果我们使用更多的矩形, 我们会估计得更精准:
曲线下方的阴影部分被划分为8个等宽矩形。
曲线下方的阴影部分被划分为16个等宽矩形。
这种近似被称为黎曼求和, 是积分演算的基础工具。我们现在的目标是专注于理解两种类型的黎曼求和: 左黎曼和以及右黎曼和。

左和右黎曼和

要黎曼求和, 我们必须知道该如何使用矩形来逼近。比如说，我们可以使矩形的左上角触及曲线。这称为左黎曼和 。
曲线下方的阴影部分被分为4个等宽矩形。 每个矩形的左上角均位于曲线上，因此随着x值的增大，矩形一个比一个高，所有矩形均位于曲线下方。
另一种选择是使矩形的右上角触及曲线。这叫 右黎曼和 。
曲线下方的阴影部分被分为4个等宽矩形。 每个矩形的右上角均位于曲线上，随着x值的增大，矩形一个比一个高，曲线将每个矩形分为两部分。
两种选择在精准度上都差不多。
问题1
这个图描述了哪种黎曼总和？
选出正确答案：

将黎曼求和细分/拆分

使用黎曼求和时通常提到的术语是 "细分" 或 "分区"。这些是指我们将 x 区间分成的矩形的数量。简单地说, 细分 (或分区) 的数量是我们使用的矩形的数量。
细分可以是均匀地分为很多一样的长度，也可以是非均匀的。
均匀细分非均匀细分
曲线下方的阴影部分被分为3个等宽矩形。 每个矩形的左上角均位于曲线上，因此随着x值的增大，矩形一个比一个高。
曲线下方的阴影部分被分为3个不等宽矩形。 每个矩形从x轴向上移动并且左上角均位于曲线上。
问题2
此黎曼和中，对于细分的正确描述是什么？
选出正确答案：

涉及图像的黎曼求和问题

假设我们要求 y, equals, g, left parenthesis, x, right parenthesis中在 x 轴上的 x, equals, 2 到 x, equals, 6 的近似值 。
函数如图所示，x轴刻度显示由0至9。该函数图像为一条曲线，始于第四象限，上行至相对最大值(3, 7)后，下行至局部最小值(4.4, 3.5)，接着再次上行，停留在第一象限。曲线和x轴之间的阴影区域的x值在x = 2和x = 6之间。
然后我们决定用四个统一的细分的左黎曼和。
函数g的图形的阴影区域分为4个矩形，每个矩形的宽度为1。每个矩形都触摸左上角的曲线。 角位于(2, 3), (3, 7), (4, 6), 和 (5, 4)。
注意: 每个矩形都在其左上角触及曲线, 因为我们使用 左 黎曼和。
将矩形区域相加, 结果为 20 单位 squared, 这是曲线下区域的近似值。
问题3
使用 三 相等细分的右黎曼和，求出y, equals, h, left parenthesis, x, right parenthesis中x轴上x, equals, minus, 2 到 x, equals, 4区间的近似值。
h 的图表经过点 -2，0 和点 0，4 点 2，6 和点 4，4。
选出正确答案：

现在让我们不借助图像来求近似值吧。

假设我们要用三个平均细分的右黎曼和求出图像 f 中 x 轴上x, equals, 1 至 x, equals, 10 区间的面积近似值。如此一来，我们就有了一个 f 值的表格。
x14710
f, left parenthesis, x, right parenthesis6835
第一步是找出每个细分的宽。我们逼近的整个区域的宽度为 10, minus, 1, equals, 9 个单位。如果我们将它平均分为三等份，则每个矩形的宽为 9, divided by, 3, equals, start color #11accd, 3, end color #11accd。
接下来，我们需要求出每个矩形的高。第一个矩形位于区间 open bracket, 1, comma, 4, close bracket。因为我们用右黎曼和逼近，这个矩形的右上角应该落在曲线 x, equals, 4 的点上，所以其 y 值为 f, left parenthesis, 4, right parenthesis, equals, start color #e07d10, 8, end color #e07d10.
相似地, 我们可以发现，位于区间 open bracket, 4, ，, 7, close bracket 的第二个矩形的右上角坐落于 f, left parenthesis, 7, right parenthesis, equals, start color #7854ab, 3, end color #7854ab。
第三个（也是最后一个）矩形的右上角坐落于 f, left parenthesis, 10, right parenthesis, equals, start color #ca337c, 5, end color #ca337c.
接下来的任务就是算术了。
第一个矩形第二个矩形第三个矩形
宽start color #11accd, 3, end color #11accdstart color #11accd, 3, end color #11accdstart color #11accd, 3, end color #11accd
高start color #e07d10, 8, end color #e07d10start color #7854ab, 3, end color #7854abstart color #ca337c, 5, end color #ca337c
面积start color #11accd, 3, end color #11accd, dot, start color #e07d10, 8, end color #e07d10, equals, 24start color #11accd, 3, end color #11accd, dot, start color #7854ab, 3, end color #7854ab, equals, 9start color #11accd, 3, end color #11accd, dot, start color #ca337c, 5, end color #ca337c, equals, 15
然后, 在知道各个矩形的面积后, 将它们相加求得的面积为 48 单位 squared。
问题 4
使用三个平均细分的右黎曼和，求出y, equals, g, left parenthesis, x, right parenthesis中x轴上x, equals, 10 到 x, equals, 16区间的面积近似值。
x10121416
g, left parenthesis, x, right parenthesis5177
面积约为
  • 你的答案是
  • 一个整数，例如 6
  • 一个最简真分数,如 3, slash, 5
  • 一个最简假分数,如 7, slash, 4
  • 一个混合带分数，例如 1, space, 3, slash, 4
  • 一个精确的十进位小数，例如0, point, 75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$
单位squared。

假设我们要求用三个平均细分的右黎曼和来求出 f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, start superscript, x, end superscript 图像中 x 轴上 x, equals, minus, 3 至 x, equals, 3 区间的面积近似值。
整个间隔 open bracket, minus, 3, ，, 3, close bracket 的宽为 6，因此三个矩形中的每个都应该是 6, divided by, 3, equals, start color #11accd, 2, end color #11accd 单位宽。
第一个矩形位于 open bracket, minus, 3, ，, minus, 1, close bracket, 因此它的高为 f, left parenthesis, minus, 1, right parenthesis, equals, 2, start superscript, minus, 1, end superscript, equals, start color #e07d10, 0, point, 5, end color #e07d10。同样, 第二个矩形的高度为 f, left parenthesis, 1, right parenthesis, equals, 2, start superscript, 1, end superscript, equals, start color #7854ab, 2, end color #7854ab，第三个矩形的高度为 f, left parenthesis, 3, right parenthesis, equals, 2, cubed, equals, start color #ca337c, 8, end color #ca337c。
第一个矩形第二个矩形第三个矩形
宽start color #11accd, 2, end color #11accdstart color #11accd, 2, end color #11accdstart color #11accd, 2, end color #11accd
高start color #e07d10, 0, point, 5, end color #e07d10start color #7854ab, 2, end color #7854abstart color #ca337c, 8, end color #ca337c
面积start color #11accd, 2, end color #11accd, dot, start color #e07d10, 0, point, 5, end color #e07d10, equals, 1start color #11accd, 2, end color #11accd, dot, start color #7854ab, 2, end color #7854ab, equals, 4start color #11accd, 2, end color #11accd, dot, start color #ca337c, 8, end color #ca337c, equals, 16
所以面积约为 21 单位 squared。
问题5
使用三个平均细分的右黎曼和，求出h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, 3, divided by, x, end fraction中x轴上x, equals, 0 到 x, equals, 1, point, 5区间的面积近似值。
面积约为
  • 你的答案是
  • 一个整数，例如 6
  • 一个最简真分数,如 3, slash, 5
  • 一个最简假分数,如 7, slash, 4
  • 一个混合带分数，例如 1, space, 3, slash, 4
  • 一个精确的十进位小数，例如0, point, 75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$
单位squared。

想要更多的练习题吗？试试这个.

黎曼求和时常被高估或低估

黎曼求和是曲线下区域的近似, 因此它们几乎总是比实际区域稍微多一些 (高估) 或略低于实际区域 (低估)。
问题6
此黎曼求和是对实际区域的高估还是低估？
选出正确答案：

问题7
想象一下 y, equals, g, left parenthesis, x, right parenthesis 中 x, equals, 2 至 x, equals, 8 区间分别用左和右黎曼和估算出的曲线下面积。
这些估算将实际面积高估还是低估了?填空。
左黎曼和完全在曲线的
方，所以它将实际曲线下面积
了面积。
右黎曼和完全在曲线的
方，所以它将实际曲线下面积
了面积。

问题 8
连续函数 g 的图像如下：
我们想求出 x, equals, minus, 7 至 x, equals, 7 区间的曲线下面积，而且我们决定用黎曼求和来估算它。
按从最小(上)到最大(下)的顺序排列。
1

问题9
此表给出连续且递增的函数 g 的选择值。
xminus, 2381318
g, left parenthesis, x, right parenthesis1319283141
我们想求出 x, equals, minus, 2 至 x, equals, 18 区间的曲线下面积，而且我们决定用四个平均细分的黎曼求和来估算它。
按从最小(上)到最大(下)的顺序排列。
1

想要更多的练习吗?试试这个练习.
注意：黎曼和是高估还是低估取决于函数在区间上是递增还是递减，以及它是左黎曼和还是右黎曼和。

知识点

使用矩形逼近估算出曲线下面积

当你听到“黎曼和”这个词的时候，你应该想到的第一件事就是用矩形来估计曲线下的面积。你的脑海里应该做出如下思考:
绘制功能图。 x轴未编号。 该图是曲线。 曲线从正y轴开始，向上凹向上移动并在象限1中结束。在曲线和象限1中的轴之间的区域被阴影化。 阴影区域被分成四个等宽的矩形，这些矩形与左上角的曲线接触。

更多的细分能求出更精细的近似

一般来说，我们用来近似一个区域的细分(即矩形)越多，近似值就越好。
该函数图像位于曲线下方的区域可以被划分为6个等宽矩形，每个矩形的左上角位于曲线上。

左黎曼和以及右黎曼和

尽量不要混淆它们。左黎曼和的矩形的顶部左顶点在曲线上。一个右黎曼和的矩形的顶部右顶点在曲线上。
左黎曼和右黎曼和
该函数图像位于曲线下方的区域可以被划分为4个等宽矩形，每个矩形的左上角位于曲线上。
该函数图像位于曲线下方的区域可以被划分为4个等宽矩形，每个矩形的右上角位于曲线上。

高估和低估

当使用黎曼和时，有时我们会将数值过于高估或者低估。幸好，我们能够推断出某个黎曼和被高估了还是被低估了。
一般来说，如果函数总是在一个区间上递增或递减，我们可以根据它是左黎曼和还是右黎曼和来判断黎曼和近似是高估还是低估。
方向左黎曼和右黎曼和
递增低估高估
递减高估低估

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