主要内容

课程: 积分学 > 单元 1

课程 2: 用黎曼和近似

左黎曼和以及右黎曼和

Google课堂

曲线下面积可以用一些长方形来估计。这种估计法叫做“黎曼和”。

假设我们想要求出此曲线下的面积:

我们可能很难找到确切的面积, 但我们可以使用矩形来估计:

如果我们使用更多的矩形, 我们会估计得更精准:

这种近似被称为黎曼求和, 是积分演算的基础工具。我们现在的目标是专注于理解两种类型的黎曼求和: 左黎曼和以及右黎曼和。

左和右黎曼和

要黎曼求和, 我们必须知道该如何使用矩形来逼近。比如说，我们可以使矩形的左上角触及曲线。这称为左黎曼和 。

另一种选择是使矩形的右上角触及曲线。这叫 右黎曼和 。

两种选择在精准度上都差不多。

问题1

这个图描述了哪种黎曼总和？

将黎曼求和细分/拆分

使用黎曼求和时通常提到的术语是 "细分" 或 "分区"。这些是指我们将

x

区间分成的矩形的数量。简单地说, 细分 (或分区) 的数量是我们使用的矩形的数量。

细分可以是均匀地分为很多一样的长度，也可以是非均匀的。

均匀细分	非均匀细分
曲线下方的阴影部分被分为3个等宽矩形。每个矩形的左上角均位于曲线上，因此随着x值的增大，矩形一个比一个高。	曲线下方的阴影部分被分为3个不等宽矩形。每个矩形从x轴向上移动并且左上角均位于曲线上。

问题2

此黎曼和中，对于细分的正确描述是什么？

涉及图像的黎曼求和问题

假设我们要求

y = g (x)

中在

x

轴上的

x = 2

到

x = 6

的近似值。

然后我们决定用四个统一的细分的左黎曼和。

注意: 每个矩形都在其左上角触及曲线, 因为我们使用左黎曼和。

将矩形区域相加, 结果为

20

单位

^{2}

, 这是曲线下区域的近似值。

对于这个问题, 我们可以只计算每个矩形的单位平方, 但总的来说, 我们得将高度和宽度相乘来求面积。

	第一个矩形	第二个矩形	第三个矩形	第四个矩形
宽	$1$ ‍	$1$ ‍	$1$ ‍	$1$ ‍
高	$3$ ‍	$7$ ‍	$6$ ‍	$4$ ‍
面积	$1 \cdot 3 = 3$ ‍	$1 \cdot 7 = 7$ ‍	$1 \cdot 6 = 6$ ‍	$1 \cdot 4 = 4$ ‍

然后, 在知道各个矩形的面积后, 将它们相加求得的面积为

20

单位

^{2}

。

问题3

使用三相等细分的右黎曼和，求出 $y = h (x)$ ‍中 $x$ ‍轴上 $x = - 2$ ‍ 到 $x = 4$ ‍区间的近似值。

现在让我们不借助图像来求近似值吧。

假设我们要用三个平均细分的右黎曼和求出图像

f

中

x

轴上

x = 1

至

x = 10

区间的面积近似值。如此一来，我们就有了一个

f

值的表格。


$x$ ‍	$1$ ‍	$4$ ‍	$7$ ‍	$10$ ‍
$f (x)$ ‍	$6$ ‍	$8$ ‍	$3$ ‍	$5$ ‍

第一步是找出每个细分的宽。我们逼近的整个区域的宽度为

10 - 1 = 9

个单位。如果我们将它平均分为三等份，则每个矩形的宽为

9 \div 3 = 3

。

接下来，我们需要求出每个矩形的高。第一个矩形位于区间

[1, 4]

。因为我们用右黎曼和逼近，这个矩形的右上角应该落在曲线

x = 4

的点上，所以其

y

值为

f (4) = 8

相似地, 我们可以发现，位于区间

[4 ， 7]

的第二个矩形的右上角坐落于

f (7) = 3

。

第三个（也是最后一个）矩形的右上角坐落于

f (10) = 5

接下来的任务就是算术了。

	第一个矩形	第二个矩形	第三个矩形
宽	$3$ ‍	$3$ ‍	$3$ ‍
高	$8$ ‍	$3$ ‍	$5$ ‍
面积	$3 \cdot 8 = 24$ ‍	$3 \cdot 3 = 9$ ‍	$3 \cdot 5 = 15$ ‍

然后, 在知道各个矩形的面积后, 将它们相加求得的面积为

48

单位

^{2}

。

问题 4

使用三个平均细分的右黎曼和，求出 $y = g (x)$ ‍中 $x$ ‍轴上 $x = 10$ ‍ 到 $x = 16$ ‍区间的面积近似值。


$x$ ‍	$10$ ‍	$12$ ‍	$14$ ‍	$16$ ‍
$g (x)$ ‍	$5$ ‍	$1$ ‍	$7$ ‍	$7$ ‍

面积约为

单位

^{2}

。

假设我们要求用三个平均细分的右黎曼和来求出

f (x) = 2^{x}

图像中

x

轴上

x = - 3

至

x = 3

区间的面积近似值。

整个间隔

[- 3 ， 3]

的宽为

6

，因此三个矩形中的每个都应该是

6 \div 3 = 2

单位宽。

第一个矩形位于

[- 3 ， - 1]

, 因此它的高为

f (- 1) = 2^{- 1} = 0.5

。同样, 第二个矩形的高度为

f (1) = 2^{1} = 2

，第三个矩形的高度为

f (3) = 2^{3} = 8

。

	第一个矩形	第二个矩形	第三个矩形
宽	$2$ ‍	$2$ ‍	$2$ ‍
高	$0.5$ ‍	$2$ ‍	$8$ ‍
面积	$2 \cdot 0.5 = 1$ ‍	$2 \cdot 2 = 4$ ‍	$2 \cdot 8 = 16$ ‍

所以面积约为

21

单位

^{2}

。

问题5

使用三个平均细分的右黎曼和，求出 $h (x) = \frac{3}{x}$ ‍中 $x$ ‍轴上 $x = 0$ ‍ 到 $x = 1.5$ ‍区间的面积近似值。

面积约为

单位

^{2}

。

想要更多的练习题吗？试试这个.

黎曼求和时常被高估或低估

黎曼求和是曲线下区域的近似, 因此它们几乎总是比实际区域稍微多一些 (高估) 或略低于实际区域 (低估)。

问题6

此黎曼求和是对实际区域的高估还是低估？

问题7

想象一下

y = g (x)

中

x = 2

至

x = 8

区间分别用左和右黎曼和估算出的曲线下面积。

这些估算将实际面积高估还是低估了?填空。

左黎曼和完全在曲线的

方，所以它将实际曲线下面积

了面积。

右黎曼和完全在曲线的

方，所以它将实际曲线下面积

了面积。

问题 8

连续函数

g

的图像如下：

我们想求出

x = - 7

至

x = 7

区间的曲线下面积，而且我们决定用黎曼求和来估算它。

按从最小(上)到最大(下)的顺序排列。

问题9

此表给出连续且递增的函数

g

的选择值。

$x$ ‍	$- 2$ ‍	$3$ ‍	$8$ ‍	$13$ ‍	$18$ ‍
$g (x)$ ‍	$13$ ‍	$19$ ‍	$28$ ‍	$31$ ‍	$41$ ‍

我们想求出

x = - 2

至

x = 18

区间的曲线下面积，而且我们决定用四个平均细分的黎曼求和来估算它。

按从最小(上)到最大(下)的顺序排列。

想要更多的练习吗?试试这个练习.

注意：黎曼和是高估还是低估取决于函数在区间上是递增还是递减，以及它是左黎曼和还是右黎曼和。

知识点

使用矩形逼近估算出曲线下面积

当你听到“黎曼和”这个词的时候，你应该想到的第一件事就是用矩形来估计曲线下的面积。你的脑海里应该做出如下思考: