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主要内容

理解梯形法则

讲解一个使用梯形法则的例子,然后你们可以自己做几道练习题。
到目前为止,您知道我们可以使用黎曼求和来取得函数曲线下的近似面积.黎曼求和使用矩形,这使得我们可以得到一些非常粗略的近似.但是,如果我们使用梯形来近似函数下的面积呢?
主要思路:通过使用梯形(又称“梯形规则”),我们可以得到比使用矩形(又名“黎曼求和”)更准确的近似值.

梯形规则示例

让我们通过使用三个梯形来近似求取函数 f(x)=3ln(x) 曲线在[2,8]的区间内的面积.
当我们定义第一个梯形为T1,第二个梯形为T2,第三个梯形为T3,这就是图中的样子:
回想一下, 梯形的面积是 h(b1+b22), 其中 h是高度, b1b1 是梯形上下两个底边.

求梯形T1 的面积

我们需要考虑梯形,好像它在侧面躺着.
高度h2是梯形T1的底部从x=2x=4的部分.
第一个边b1是函数3ln(x)x=2处的函数值,也即 3ln(2).
第一个边b2是函数3ln(x)x=4处的函数值,也即 3ln(4).
用图像表示是这样的:
将以上汇总以得到T1:
T1=h(b1+b22)
T1=2(3ln(2)+3ln(4)2)
简化:
T1=3(ln(2)+ln(4))

求梯形T2 的面积

我们先计算梯形的高和两个底边的值:
h=2
b1=3ln(4)
b2=3ln(6)
代入并简化:
T2=3(ln(4)+ln(6))

求梯形T3 的面积

T3=
选出正确答案:

求总面积近似值

我们通过将这三个梯形面积相加的方法得到区域总面积:
总面积=T1+T2+T3
下面是最后的简化答案:
总面积=3(ln2+2ln4+2ln6+ln8)
你应该在此处暂停一下,然后回顾代数中每一步骤以确保你明白我们是怎么做到的!

问题练习

选择正确的表达式以通过使用四个梯形来近似求取函数 f(x)=2ln(x)曲线在[2,8]的区间内的面积.
选出正确答案:

挑战题

选择正确的表达式以通过使用三个梯形来近似求取函数 f曲线在 [1,5]的区间内的面积.
选出正确答案:

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