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更多关于三角函数的练习

使用三角替换来求解不确定积分的示例. Sal Khan 创建

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我们 假设我有一个不定积分1除与平方根 3 - 2x^2 当然我这有一个dx. 当我们看这道题的时候,并没有很明显的 传统的方法可以用来找这个不定积分 我没有这个的微分包含在 这个不定积分里面,所以不可以用传统的换元法 但是我可以说,嗯,这个差不多看起来 好像一些我已经知道的三角函数, 所以我可能 可以用三角函数来代替。 现在我们来找一个三角函数 跟这个看起来差不多的。 我们最基本的三角函数--这个 是从单位圆定义来的--是正弦 平方的 theta 加余弦值的平方 theta 等于 1。 然后如果我们减去的 theta 从两个平方的余弦 我们得到双方 — — 或如果我们减去正弦平方的 theta 从两侧,我们可以这样做要么-我们能得到余弦 平方的 theta 等于正弦平方的 theta 减去 1。 我们可以做两种方法。 但这个,突然间,这件事就在这里开始 看上去有点像这样。 也许我可以做一点点的代数的手法,使 这看起来像这样。 第一件事,所以我想在 1 到这儿- 至少,这就是我的大脑是如何工作的 — — 让我们出去因子 从这个分母 3。 因此,这是作为的积分 1 以上同样的事情 平方根的 — — 让我出 3 出此表达式的因素。 3 倍 1 负 2/3 x 平方。 我做了什么也不想在这里。 我只被考虑了此表达式 3 这是我做的全部工作。 但现在整齐的事就是,此表达式查找 多像这样的表达。 事实上,如果替换,如果我说这个东西就在这里 这 2/3 x 平方,如果我将它设置为等于正弦平方 theta 我 将能够使用该标识。 现在,让我们做的。 让我们设置 2/3 x 平方,让我们将设置为这等于正弦 theta 的平方。 因此,如果我们采取的这个方程式中,双方的平方根 获得 3 次 x 的平方根是 2 以上的平方根 等于 theta 的正弦值。 如果我想要解决 x,我得到什么呢? 并且,好吧,我们要有两个解决 x 和 theta,所以让我们做到这两种方法。 首先,让我们为 theta 解决。 如果我们能解决的 theta,你得到的 theta 等于 反正弦或超过 2 的平方根的反正弦值, 3 x 的平方根。 这就是如果 theta 为您解决。 现在,如果你解决 x,你只是乘两边的 这和你的逆获取此方程倍 x 等于 --除以这个方程的双方或将它乘以 由逆 — — 等于超过 3 的平方根 2 倍的 theta 正弦值的平方根。 我们打算用正弦平方的替代这 theta,但我们不能在外面离开此 dx。 所以就 theta x 的导数等于 3 对 2 的平方根的平方根。 这对于 theta 导数是公正余弦值的 theta,如果我们想要将此写的 dx,我们可以 只是写的 dx 等于超过 3 的平方根 2 余弦值的 theta 的平方根 d theta。 现在我们准备来代替。 因此,我们可以重写此表达式在这里 — — 会做 在这金色的颜色-我正在使用,让我做 它采用的是蓝色的颜色。 我们可以重写此表达式现在在这里。 它是不定积分的--dx 上 分子,正确吗? 而不是编写这 1 倍 dx,我可能会有 只是写在这里 dx。 这类似的可能只是 dx。 你只乘以它 dx 倍。 那么什么是 dx? dx 是这项业务。 我会做它的黄色。 dx 是这项权利。 所以,求平方根的 3 以上的平方根 2 余弦 theta d theta。 那是什么 dx 是。 现在,我的公式中的分母有广场 3 倍 — — 现在是 1 负的根。 现在我说 2/3 x 平方等于正弦的 theta 平方。 93 00:04:47、 64--> 00:04:49,现在可以怎样简化这 75 吗? 嗯,正弦平方减去 1 是 theta 的什么? 余弦值的平方的 theta。 所以这个东西就在这里是余弦值的平方的 theta。 所以我不定积分变为 3 的平方根 过去的 2 余弦 theta 平方根 d theta,所有的 平方根的余弦值的 3 倍以上, theta 的平方。 这只是成为了余弦的 theta 平方。 现在,让我们只是采取本部底部的平方根。 所以这是等于 — — 我会做任意 变化的颜色 — — 3 对 2 的平方根的平方根 余弦值的 theta d theta 一切过去 — — 什么都有 广场的这根呢? 它等于平方根的平方根的 3 倍 余弦值的平方,所以时间的 theta 余弦值。 现在,这就简化了的东西好一点。 我有的余弦值的 theta,除以 theta 余弦的值 那些取消了,我们去拿 1,于是便广场 这里的 3 根除以平方根 3,所以对这这两个 你们都要取消出,因此简化了我的积分 很好地为超过 2 d theta 平方根的 1。 或者更好,我能写这,这是只是一个常量 长远来说,可以从我的积分 — — 它等于 1 对 2 倍于我的积分的只是 d theta 的平方根。 而这是超级简单。 这是等于 1 对 2 的平方根 倍 theta 加 c。 加上一些常量。 我的意思是,你可能会说这个积分是 theta 加 c,然后你会相乘的常数时间,但它是 仍会一些任意常数。 你知道如何采取这反导数。 但是,我们做吗? 哦,不。 我们想要知道我们不定积分 x。 所以,现在我们要扭转替代。 那么什么是 theta? 我们想到了这里。theta 等于反正弦广场 2 超过 3 倍的平方根的根。 所以我们原始的不定积分,所有这一切都是 在这里,现在,执行反向 theta 替代愚蠢或 把 x 回到那里,它比 1 平方根 theta 2 倍。 theta 是只是这样,是 2 的平方根的只是反正弦值 超过 3 倍的平方根,便此常数 出在这里,再加上 c。 所以这就在这里是的反导数 平方根的减 2 x 3 对 1 的平方。 希望你觉得是有帮助的。 我要做更多的视频,让我们经历 一些例子,这样,你可以更 熟悉他们。