更多的含正切的三角替换问题

我们要求 1/(36+x平方) dx 的不定积分， 现在，你可以想到， 如果不用三角学，这不是一个很容易求解的积分。 我不能用 u 换元法， 这里没有这一项的导数， 如果这里有一个 2x，它就会容易许多， 那样我就可以说，它的导数是 2x， 我就可以用 u换元法，我就能做出来， 但是这里没有2x 这一项，我该怎么办呢？ 我寄希望于我们的三角恒等式， 我们看看，我们能得到什么三角恒等式。 我通常会做的第一件事，--这是我的脑子里考虑问题的方法， 我总是喜欢这样--我看到这是一个常数 加上某一项的平方，这告诉我们， 我应该使用三角恒等式。 我总是喜欢 1+某项的平方。 我要把这个积分重写为 我把 dx 写在分子上， 这是乘以 dx， 我把积分号写得更好一点， 它就等于积分 dx/36(1+x平方/36）， (1+x平方/36），这是 这个积分的另一种写法。 让我们看看，有没有一个三角恒等式 可以代进来，从而 可以一定程度上简化这个问题。 有一个出现再我的脑子里，如果你还不知道， 我把它写在这里： 1+tan(θ)平方 我们来证明它。 tan(θ)平方，由其定义， 它等于 1+sin(θ)平方/cos(θ)平方 现在，1等于 cos(θ)平方/cos(θ)平方， 所以我可以把它重写为，它等于cos(θ)平方/cos(θ)平方 这是 1，加上 sin(θ)平方/cos(θ)平方, 现在，我们有相同的分母， cos(θ)平方+sin(θ)平方是什么？ 它是单位圆的定义， 它等于 1/cos(θ)平方。 1/cos(θ)平方， 1/cos(θ)就是 sec(θ) 所以，它等于sec(θ)平方。 如果我们用换元法，如果我们让这一项 等于tan(θ) 或者 tan(θ)平方， 那这个表达式就是 1+tan(θ)平方， 它等于sec(θ)平方。 或许它能够帮助我们简化这个方程。 我们说，x平方/36 等于 tan(θ)平方， 我们对方程两边取平方根， 你得到 x/6 等于 tan(θ) 或者说 x = 6 tan(θ) 如果两边对θ求导， 我们得到 dx/dθ 等于 -- tan(θ)的导数是什么？ 我可以由这里这些基本原理 给你们做出讲解， 我还是做一遍吧， 那么 tan(θ)的导数 --在旁边做没有坏处-- 我就在这里做。 它是 6乘以 tan(θ)对θ的导数， 我们需要找到它， tan(θ)的导数就是 d(sin(θ)/cos(θ))/dθ 这就是tan(θ)的导数， 它也就是下面表达式求对θ的导数， 我向右移动一下， --我从来就记不住商法则， 我过去告诉过你们这有点可悲-- 它就是sin(θ)乘以cos(θ)的-1次方， 它等于什么？ 它等于，第一个表达式， 或者说第一个函数的导数 也就是cos(θ)， 它等于 cos(θ)， 它就是sin(θ)的导数乘以第二个表达式， 乘以 cos(θ)的-1次方， 我放了一个括号在这里，然后把-1放在外面， 因为我不想把-1放在这里， 让你们认为我是在讨论cos 的反函数或者说arccos。 这就是sin的导数乘上cos, 现在，我要加上cos的导数， 不只是cos，是cos 的-1次方的导数， 它就是-1乘以cos(θ)的-2次方， 这是外部的导数 乘以内部函数的导数， 我们移动一下， 它是外部的导数， 如果cos(θ)是 x ，你就有 x的-1次方的导数 就是 -1乘以 x 的-2次方。 现在乘以内部的导数， cos(θ)对θ的导数， 就是乘以 -sin(θ)， 我要把所有这些乘以sin(θ)， 它的导数，绿色的这些， 乘以第一个表达式， 它等于什么？ 这里，cos(θ)除以cos(θ) 等于 1， 后面，我有一个-1，我还有一个 -sin(θ)， 这里就是 +, +， 我得到是那么？ 我得到sin平方，sin(θ)乘以sin(θ) 除以cos平方， 就是加上sin(θ)平方/cos(θ)平方， 它就是 1+tan(θ)平方， 1+tan(θ)平方是什么？ 我刚才已经讲过， 它就等于sec(θ)平方， 所以，tan(θ)的导数就等于 sec(θ)平方。 我们所有的工作有了些结果， 它得出的结果很简单，这很好。 所以 dx/dθ， 就等于 sec(θ)平方。 如果我们想知道 dx等于什么，dx 就等于 这两边同乘 dθ。 它就是 6乘以sec(θ)平方 dθ， 这就是我们的 dx， 当然，后面我们将要反向换元， 所以我们要解出θ， 这比较简单。 求方程两边的反正切 arctan， 你就得到 arctan(x/6)=θ， 我们存着，以后要用到它， 这样，我们的积分简化乘什么了？ 我们的积分成为 dx 的积分， dx 是什么？ 它是 6乘以 sec(θ)平方， 所有这些除以这个分母， 它是36乘以(1+tan(θ)平方）， 我们知道，这就是sec(θ)平方， 我已经给你们讲解过多次了， 分母上是sec(θ)平方， 在分子上，我们有sec(θ)平方，它们相消， 这些消掉了， 这样，我们的积分简化为--我们很幸运--6/36， 也就是 1/6 dθ 它就等于 1/6 θ + C， 现在我们把这个结果代回去， θ=arctan(x/6)， 1/(36+x平方) 的反导数就等于 1/6乘以θ， 而 θ= arctan(x/6) + C， 我们做完了， 这个题还不是太困难。