If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

如果你被网页过滤器挡住,请确保域名*.kastatic.org*.kasandbox.org 没有被阻止.

主要内容

长三角替换问题

复杂三角替代法的练习题. Sal Khan 创建

想加入讨论吗?

尚无帖子。
你会英语吗?单击此处查看更多可汗学院英文版的讨论.

视频字幕

比如说,我们有一个不定积分 6x减去x平方减去5,它的平方根,然后不定积分 显然,它不是一个简单的积分 它不是一个简单的表达式, 直接可以得到积分,所以,u替代法没法做 你可以从题目中猜到 本视频中,我们要做到事情会比较炫一些 我们可能会做一些类型的三角替代 但是,这个看上去不像是 能够很顺当地用三角代换的样子 当我看到像1减去x的平方,在根号下面,这种 或者x平方减去1在根号下面时, 或者x平方加1,这种的时候,会想到用三角代换 这些形式的表达式会 让我想到三角代换 但是,本题中,不太符合这些样子 题目中有根号 也有x平方项, 但是不是像这样的形式 我们看看是否可以把它转换为这个形式 我们把这里的这些抹掉 我们看下这里是否可以构建出平方项 我们看看 如果这个等于,我重写一下 如果这种构建平方项的方式你不太熟悉, 我们有一系列讲解这个做法的视频 我把它重写一下,它等于负5减去-- 我需要一些空间--负5减去x平方 现在,这里应该是加6x,但是因为这里是负号 所以,减去6x,对吧? 一个减号叠加一个减号,得到6x 然后,我想把它构建成一个完整的平方 所以,什么数自己加起来能够得到-6? 是-3,-3的平方 所以,你取这个数的一半,得到-3 然后把它平方 然后把9放这里 现在我不能随意地加9, 或者说,实际上,我不能在这里加9 我做了什么? 我减去了一个9 因为我这里放了一个9,但是它实际上是减去9 因为外面有一个负号 所以,为了让加进去的9抵消掉, 这里应该是一个负9 我必须加上9 所以,我们得加上9 所以,加9,这里 希望你能理解这些步骤。 显然,这里有一个dx,要和这些相乘 得到的是负x平方加上6x,也就是 这里的这两项,减去9,然后,这些加上9 然后这两个抵消了, 这样就得到此前的表达式 因为我想让你明白,我没有改变表达式 因为这样,所以这里是-9 所以,我加了一个9,所以,我实际上是对这里加0 但是,这样做以后,我们得到了一个喜欢的形式 显然,这里这个,变成了4 然后这里这项变成了什么? 它是x减去3的平方 x减去3的平方 所以,这个不定积分现在成为了这个积分, 我刚刚做了一些运算转换, 积分变成了4减去x减去3的平方,然后开方根 现在,这个表达式看上去像我们喜欢的形式 但是,我们希望这里是1 所以,我们把4提取出来 这个等于,我换个颜色, 它等于,根号,4,乘以 1减去 x减去3的平方,除以4 我把这两项中的4提取出来 如果我把这个乘出来,就会得到这些 这里这些,dx 现在,这里的表达式变成了我们喜欢的形式 让我再简化一下 这个等于是,积分符号,如果我把4提取出来 它就是2乘以根号的1减去, 我可以把这个写成x减去3,我这么写 1减去x 减去3除以2然后平方,dx 我们从哪里得到的2? 如果我把这两个平方,得到 x减去3的平方,除以2的平方 也就是x减去3除以4 所以,我所做的,到目前还没有开始积分 我只是在算术上改写了这个不定积分 使它变成了这个样子的不定积分 它们是相等的 但是,这个新的表达式 是我们所熟悉的形式 在上个视频中,我演示了 cosine theta的平方 等于1减去sine theta的平方 你实际上可以这么做 你可以说sine theta的平方等于 1减去cosine theta的平方 没区别 但是两者都可以 但是这个和这个形式上很像 实际上,如果我说,这个等于sine theta的平方, 那么这两个形式上就一模一样了 所以,我们做这个替代 我们说,x减去3,除以2,它的平方 等于sine theta的平方 现在,如果我们将等式两边取平方根 我得到了x减去3除以2,等于sine theta 现在我们最终,到这里你应该明白我们后面推导的方向了 我们最后还得将theta替代回来 让我们把theta用x表达 theta用x表达,我们可以说 将两边去arc sine, 就得到了theta等于, arc sine的theta theta等于arc sine 的x减去3除以2 完美 现在,为了来做替代, 我们得算出dx是什么 我们得把theta用x表达出来 我们做一下 所以,我们得到,如果我们把等式两边乘以2 我们得到x减去3等于2乘以sine theta 或者,x等于2 sine theta加上3 现在,如果将两边对theta取导数, 我们得到dx,d theta,等于2cosine theta 这个的导数是0 或者,我们可以把两边乘以d theta, 我们得到dx等于2cosine theta d theta 我们准备好替代回前面的 不定积分中了 所以,这个部分现在就可以写成,积分符号, 2乘以这个根号,1减去, 我把这个换成了sine theta的平方, 所有这些乘以dx 好,我刚刚说了,dx等于这个,这里这些 所以,dx等于2 cosine theta d theta 这个可以简化成什么? 这里,这个就是cosine theta的平方 我们得到的是cosine theta的平方, 然后取根号 所以,这个,cosine theta的平方的方根, 整个这里这些,对吗? 它等于cosine theta的平方然后方根, 也就是cosine theta 所以,我们的积分变成了,我们的积分,等于 2乘以cosine theta的平方然后方根, 所以,它就是2乘以cosine theta,乘以2 乘以cosine theta 这个是这里的这个部分 这个对应这里,所有这些, 这个对应这个,这里 1减去sine 的平方,等于cosine的平方,取根号 得到cosine 的平方 然后,所有这些乘以d theta 现在,这个显然等于4乘以cosine theta的平方 然后是d theta 这个本身也是很难求解的积分 我不知道,你看,这里不能用u替代法 或者任何类似的方法 我们怎么办? 我们回到经典的三角恒等式 现在,我不知道你是否记得, 虽然大部分的教材里面都有, 讲到三角函数的部分都有 cosine theta的平方,可以写成 1/2乘以1加上cosine 2theta 我们在很多视频中都证明过了这个 所以,我们做这样的替代 我们把这个替换成这个 这个积分就变成了,4乘以cosine theta的平方,cosine theta的平方是这个 4乘以1/2 乘以1加上cosine 2 theta d theta 现在,看上去容易了 它是什么? 4乘以1/2,就是2 所以,积分变成了2乘以1, 所以就是2,加上2乘以2cosine 2theta,所有这些,再d theta 现在,这个导数就比较直接了 这里这个是什么? 这个是sine 2theta对theta的导数, 对吧? 整个这个 sine 2theta的导数是多少? 取里面的导数,这个2,乘以 取外面的导数,cosine 2theta 这个,当然,就是2theta的导数 这个等于 2相对于theta的导数 也就是2theta,加上 这个的不定积分,也就是sine 2theta, 然后加上c 当然,我们不能忘了要界定theta, 我们原始的不定积分是对x的 所以,我们不能只解答到theta 我们得做一个反向替代 记住,theta等于 arc sine x减去3除以2 我写下来 现在,如果我直接把theta替换减去的话 得到的是sine 2 乘以arc sine x减去3除以2,它是正确的 我们得到2乘以arc sine x减去3除以2 这样就完整了,应该就解完了 但是不够完美 现在不太简洁 我们看看是否可以简化一下 变成只是sine theta的表达式 当取sine arc sine的时候, 它就简化成了x减去3除以2 我们写清楚些 所以,如果我把所有这些写成sine theta的表达式 因为sine theta等于 sine arc sine x减去3除以2 也就是等于x减去3除以2 如果我可以把这个写成sine theta的表达式, 那么我就可以做这样的代换 sine theta等于这个, 表达式简洁了一些 我看一下,是否可以这么做 好,你可能会知道其他的三角恒等式可以用 我也证明过了,sine 2theta 等于sine theta 加上theta, 也等于sine theta, cosine theta,加上,把theta交换过来, sine theta加上cosine theta, 也就是等于 2 sine theta cosine theta 一些人会提前记下来, 如果你要参加三角替代的考试, 背下来也是有帮助的 但是我们重写成这个样子 所以,我们以theta表示的不定积分 变成了2 theta加上,不是sine 2theta, 而是2 sine theta cosine theta 当然,后面要加上c 现在,我把所有的写成sine theta的形式, 但是这里有一个cosine theta 所以,我们怎么做? 我们知道,cosine theta的平方 等于1减去sine theta的平方,或者说 cosine theta 等于1减去sine theta的平方, 然后开平方根 看上去我们增加了复杂度 但是,好处是,它变成了sine theta的表达式了 我们就这么做 我们做替代 我们的不定积分,也就是2 theta,加上 2 sine theta 乘以cosine theta,也就是等于这个, 乘以1减去sine theta的平方的方根 所有这些再加上c 现在我们快解答完了 这个题目可能比你 所想象的还要难一些 我们知道sine theta是等于x减去3除以2 所以,我们反向代换回来 我们得到2乘以theta 第一项是2乘以theta,这里 所以,这个是2乘以,我们不能忘掉arc sine 如果我们有一个theta,我们必须说, theta等于arc sine x减去3除以2 然后,我们有,加上,我换个颜色 加上2 sine theta 好,这个是加上2乘以sine theta 等于x减去3除以2 所以,2乘以x减去3除以2,所有这些乘以 1减去sine theta的平方的方根 sine theta等于多少? 是x减去3除以2然后平方 当然,加上c 我看一下,是否还可以再简化 现在,我们快弄完了 这个等于2 arc sine x减去3除以2, 加上这两项,这个2和这个2抵消掉了 乘以,方根, 如果我把这里的部分乘以,我看下该是什么, 这个等于1减去x减去3除以4,x减去3平方除以4 这个简化, 比我想象的复杂 但是让我们看一下,是否还可以简化 如果我们乘上,我们集中处理这里这项 如果我们在外面乘以, 或者说,我们把这个乘以除以2 这个就写成了-- 把这个乘以2除以2 你会说,为什么要这么做? 因为我可以把它改写,我把整个写这里 是2 arc sine x减去3除以2 然后,我取分母这里的2, 所以,得到,加x减去3除以2 这里的2就是这里的2 然后,可以把这个2 写成4的平方根 乘以4的平方根,乘以 所有这些的平方根 1减去x减去3的平方,除以4 我想你知道我想做什么了 我基本上把题目开始时候 所做的再反过来处理一遍 也许我等于简化答案过于痴迷了, 让我完成它 这里得到了2乘以arc sine x减去3除以2 加上x减去3除以2,把这个4放进去 4的方根乘以这个的方根 等于4乘以这个整个的方根 所以是4减去x减去3的平方 所有这些加上c 快做完了 这个等于2乘以arc sine x减去3除以2 加上x减去3除以2,乘以4的方根,减去 我把这个扩展开,x平方减去6x加9 然后,这里这个表达式,简化为减去负号 6x减去x平方,然后得到 4减去9,减去5 也就是我们原先的不定积分 所以,最后,我们到达了终点 我们得到了积分,2 arc sine x减去3除以2 加上 x减去3除以2,乘以, 6x减去x平方减去5的方根 这里的是我们开始时候 上面的这个表达式的不定积分 在这里 所以,这个等于 6x减去x平方减去5 dx,它的不定积分 我可以想象,你应该和我一样很累了 我手都酸了 但是希望你能够满意这个结果 有时题目很简单 而今天这个很难做