三角函数替代介绍

题目说，我们要求解 这里这个不定积分 你马上可以看到，这里 分母是4减去x平方的方根 你可以使用替代法 但是也没有 怎么简化我们的问题 如何求解呢？ 你可能会想 这个，这个4减去x平方的方根 如果我们在处理勾股定理问题， 如果我在求解勾股定理的 一个非斜边 尤其说，如果斜边是2 这个是2的平方， 然后另外一边是x 然后2的平方 减去x的平方 就得到另外一个边的长度， 我们试一下 如果我们有 我们有一个 如果你们觉得跟不上思路的话 其实没问题的 因为，当我最先看到这样的问题时 也不太有想法的 我们说，有一个直角三角形 我们把它画出来 如果直角对应的斜边长度是2 斜边长度是2 斜边长2 我们说，这个边，这里 实际上，我们来做这个边 我们说，这个边 我还是用这个边吧， 这个边，长度为x 这里的这个边长度为x 有一点不常规 因为一般这个垂直边我们用y表示 但是我们先用x吧 这里这个边是x 然后，这里这个边应该是多少？ 另外一个非斜边长度应该是多少？ 如果使用勾股定理的话 你会得到 斜边的平方， 2的平方，也就是4 减去另外一个边的平方 所以是减去x平方 这个就比较有意思了 这个表达式， 就是当我们看到这个题目时， 我们所想到的，但是它如何帮助我们解答题目呢？ 这个时候，三角函数就可以介入来帮助我们了 因为如果我们定义一下 如果这个角这里， 我们设它为theta 那么，sine和cosine theta用 这些边如何表示？ 我们看看 sine theta sine theta等于 对边除以斜边 等于x除以2 或者说，如果你要求解x 我们得到的是x等于2 sine theta 这个就有趣了 cosine theta呢？ cosine theta 等于邻边 4减去x平方的方根 除以斜边 或者，如果你想求解这个边 它等于是 我们说，4减去x平方的方根 等于是 斜边乘以cosine theta 有意思 如果x等于2 sine theta 然后，另外一边，然后，整个这个表达式 简化为2 cosine theta 看上去有意思了 我们来替代一下 我们设x等于2 sine theta 如果x等于2 sine theta 那么dx就等于是 2 cosine theta D theta 然后，如果我们有x等于2 sine theta 那么这里的这个部分是什么？ 我们刚刚算出来了 这个是2 cosine theta 这个等于2 实际上我换个橙色 2 cosine theta 这个等于2 cosine theta 我们可以这样做 画一个直角三角形， 用这些三角函数的定义， 然后，显然，你可以用单位圆法来同样做， 它是这种方法的拓展 但是你也可以这么做， 如果这是2 sine theta 你可以使用勾股定理 三角恒等式，你可以 看到整个表达式 如果你这么做，它会简化为2 cosine theta 但是现在，我们继续 我们看看是否我们可以 运用替代法来计算 它等于不定积分 所以，dx，1乘以dx，它等于 dx等于2cosine theta d theta 我写下来 2 cosine theta d theta 写这里 然后，分母是多少？ 4减去x平方的方根 它就是2cosine theta 所以，是 2 cosine theta 它看上去可以很快地算出来 2 cosine theta 除以2 cosine theta 得到的是1 简单 它就简化为 d theta， 也就是，如果你计算它 它会等于是 theta 加c 很清爽吧，但是我们仍然没有做完 我们想要以x表示 我们的不定积分 所以，现在，我们把x解出来 如果x是2 cosine theta 对不起，是x等于2 sine theta 所以，x等于2 sine theta x等于2 sine theta 我们看一下，将两边除以2 x除以2等于sine theta 然后，你可以求解theta theta 是你取正弦的角度 这里是x除以2 所以，你可以说 我腾点空间 这个theta 等于反正弦， 这个的反正弦 x除以2 我们可以这么写 或者重写成 theta等于arcsine arcsine arcsine x/2 所以，它等于是 theta 等于arcsine x/2 我们就这么做下去 arcsine x/2 加上c 解答完了 我们已经计算出来不定积分 现在，你们有人会注意到 我推导的很快 这样让你有整体的概念 先看到森林的样子 但是，还有一些有趣的细节 我想，值得深入研究 在这里仔细探究一下 第一个是， 你会说，这里，x的约束条件是 或者说，这个表达式的域 是受限制的 我们记住这个部分， 以确保说当我们做替代的时候 不会有奇怪的事情发生 所以，域在这里 x必须是大于-2的 并且小于2 如果x的绝对值等于2 那么分母就会是0 如果x绝对值大于2 那么分母就是付数 就是不确定的 所以，这里就是对应的域 所以，我们要确保在使用替代的时候 不要做错 如果x必须在-2和2之间，那么 我们说，x是2 sine theta 也就是说2 sine theta必须 是介于-2和2之间 所以，-2必须小于 2 sine theta 2 sine theta 必须小于2 我们把不等式同时 除以2 得到-1小于sine theta sine theta 小于1 这样，我们可以算出来 theta 应该小于pi/2 在pi/2，sine theta 等于1 如果theta 大于-pi/2 如果我们这样限制theta 如果我们说，theta 位于这里这个范围之中 那么，我们就正确地限定了域 这个很合理，因为这个 就是典型的arsine函数的域 所以，我们目前进度良好 现在，你可能会有另外一个问题 我们知道， 这里我们除以了cosine theta， 但是只要cosine theta不等于0就没问题 因为我们分母不能为0 theta的限定，它的 意义是只要theta大于 -pi/2，小于pi/2 cosine theta就不会是0 它不会是0 实际上，它就是正的 如果允许它等于-pi/2 或者pi/2 那么这里就会是0 我们必须想到 限定条件 计算到现在，一切进展都还顺利 我们再深入一下 我们说，我们的域 已经弄清楚了 没有问题 我们 应该很放心 这个答案 它是 正确的