三角替换和u代入法组合运用(第一部分)

让我们对x3次方乘以 根号下(9-x平方) dx 求反导数或者说求它的不定积分。 你或许会试图用一些办法，例如 u换元法来做， 但是你会发现，你走不了太远。 这里，我们有一个很好的线索 我们有一种模式，-- 9-x平方 可以看作是 3的平方-x平方 任何时候，如果你有 a平方-x平方， 就可能能够用代入法， 让 x = a sin(θ) 为什么是这样呢？ 因为 a平方-x平方 就能变成 a平方-a平方sin(θ)平方 它就是 a平方乘以(1-sin(θ)平方)， 我想，你们会知道后面是什么样。 这是 a平方乘以cos(θ)平方， 这可能是一个有用的简化方法， 我们一起来做。 在这里，我们的 a 是 3， 我们用换元法， 设 x=a sin(θ)， 或者 3 乘以 sin(θ)， 然后我们还要找出 dx 等于什么。 如果你求导，我们就能得到 dx， 我们有，dx/dθ = 3 cos(θ)， 如果我们要写成微分形式， 我们就写成 dx = 3 乘以cos(θ) dθ， 这就是它对 θ 的导数， 现在可以把它代回原来的表达式， 我们原来的表达式成为 我用原来的绿色来写， (3 sin(θ)) 3次方，也就是 27 sin --让我还是用颜色来区分， 这样你们就知道，我在做哪一部分，-- 这里的这一部分 x3次方， 就成为 27 乘以 sin3次方(θ)， 或者说 sin(θ)的3次方。 所有这些， 就成了 根下 （9 - x平方）， 这里就是 -9sin(θ)平方， 然后 dx --我用一个新的颜色 -- 这里 dx 就等于 --这不是个新的颜色， dx 就等于所有这些项， 乘以 3 cos(θ) dθ， 现在，我们来看看， 是不是可以对这些项 做一些简化，我在边上做。 根号下，这里可以写成 9 乘以 (1-sin(θ)平方)， 它就等于根号下 9乘以 cos(θ)平方。 我们可以假设 cos(θ) 是正数， 我们在上一个视频中也是这样做的。 这样，它就等于 3 cos(θ）橘黄色的， 这里就成了 3 cos(θ)。 这一部分简化成什么了呢？ 我们有 27乘以 3 就是 81，再乘以 3 就是 243， 它就是 243，我把它放在前面， 乘以积分 我们会有sin(θ)立方， 然后，你有 cos(θ)乘以 cos(θ) ， 或者说是 cos(θ)平方， 这就是这里这一项和这里的这一项， 当然，还有 dθ， 我想，我已经照顾到了每一项， 看起来，我还没有让它简化很多， 因为，看看 它看着还是不是很容易求解， 但是我们已经更接近了， 现在，题目变成一个传统的 u换元问题， 只是还不是太明显， 实际上还要先 使用一层技巧来找到它。 这里，你怎么才能应用 u 换元法呢？ 关键在于你要发挥三角函数的效能， 特别是当它们中间 有奇数次方时， 你需要做的就是把一个奇数次方的项提出来， 这样就能构成一个 u换元法的问题， 我们一起来做。 它等于 243 乘以 积分 sin(θ) 3次方， 我可以把它写成 sin(θ) -- 我还是这样写-- sin(θ)平方 cos(θ)平方， 这里，我还有一个 sin(θ) dθ， 我在这里做的就是把这个表达式 变成我能够使用 u换元法的形式， 你可以想到，说不定这个du 会和sin(θ) dθ 有联系， 如果我设我的 u=cos(θ)，那就是这样的。 然后，我的 du 就是 -sin(θ) dθ， 看看我是不是可以这样做。 如果我说，sin(θ)平方 等同于 1-cos(θ)平方， 所有这些就变成 243 乘以 积分 (1-cos(θ)平方） 乘以 cos(θ)平方乘以 sin(θ) dθ， 我想对我们刚才做的，要非常清楚， 我们采用了三角替换 才得到现在的结果， 在这里，我提出了一个sin(θ)， 就在这里，把它分开了， 然后，在这里，我把它变成了 用cos(θ)表示， 我这样做的全部的目的， 就是这里我有一个 cos(θ) 的函数，然后 这里，我有某一项非常接近 cos(θ) 的导数， 现在它已经可以用 u 换元法了， 那么，我们就来做 u 换元， 如果我们有某一表达式的函数， 然后，我有这一表达式的导数， 可能 u 就应该等于这个表达式。 所以，让我设 u=cos(θ)， du = -sin(θ) dθ， 好，我有sin(θ) dθ， 那么，只要我在这里放一个负号， 我就可以让它乘以 -1， 我乘以一个负号两次， 原来的值不变。 注意，这里的这一项就是 du ， 而这里的项是 u 的函数。 我们这样来写， 所有这些就等于 -243乘以 积分(1-u平方)乘以 u平方 然后这里就是我们的 du， 这就是 du， 现在，就很简单了， 我们把 u 乘出来， 就成了 -243-- 这些就是 -243 乘以 不定积分 u平方 - u4次方 --我只是用 u平方分别相乘-- du， 现在，求它的反导数 就很简单了。 它就是 -243 乘以 u平方的反导数 是u3次方/3， u4次方的反导数是 u5次方/5， 当然，我们还要在这里加上 C， 为了去掉这个负号， 我们可以交换它们， 我们用负号分别相乘， 这一项变成负的， 这一项变成正的。 我们得到，所有这些就等于 243 乘以 （u5次方/5 - u3次方/3）+ C， 你会说，我们终于做完了， 但是我们还没有做完， 我们的每一项都用 u 来表示， 而我们原有的积分是用 x 表示的。 下一个视频，我们就要反转所有的替换， 我们要把这里的表达式 用 x 来表示。 我们需要从u 到 θ 再到 x 因为我们已经做过两轮替换了。