三角替换和u代入法组合运用(第二部分)

在上一个视频中， 为了求不定积分，我们先是做了 x = 3sin(θ) 的替换， 这使得我们得到了这个积分形式， 然后，我们把这些 sin 和 cos 分开， 我们用了一些三角恒等式。 以便达到能采用 u 换元法的形式。 这里，我们做了另一个替换， 我们设 u=cos(θ)， 终于，通过第二轮的替换， 我们得到了这个形式，， 这次，就是 u 替换， 我们能够得到这个形式 从而可以求出反导数。 我们得到了最后用 u 表示的解， 但是现在我们需要返回每一步， 我们必须进行反替换。 这是我们最后一次进行替换。 我们的顺序要从后往前做。 u = cos(θ)， 你或许就想 在这里，用cos(θ) 替换 u， 但是我们只是每一项 都用 cos(θ) 表示，还是不是用 x 表示。 理想的办法就是看看能不能用 x 表示 u， 我们看看我们能怎样做。 我们知道 u=cos(θ)， 我们知道 x 和 θ 的关系就在这里， x = 3 sin(θ)， 我把它写在这里。 所以，我们知道 x --我把它写在这里-- 我们知道 x = 3 sin(θ)， 如果我们能用什么办法把 cos -- 让我用不同的方式写， 我们可以说 x/3 = sin(θ)， 我只是两边除以 3 , 如果我们能设法 把它用 sin(θ）表示， 那么，我们就可以把所有的 sin(θ) 用 x/3 来表示， 我们就做出来了。 那么，我们怎么能做到呢？ 我要给你们讲解两种不同的技巧来做它。 第一种方法就是实现如下转换， u=cos(θ)， 如果我想把它用 sin(θ) 表示， 我可以说，它等于--很直接， 这是最基本的三角恒等式， cos(θ)=根号下（1-sin(θ)平方）, 我们知道sin(θ)=x/3， 所以它就等于根号下(1-(x/3)平方)， 这就是用 x 表示的 u ， 这里我们看到的每一个 u 都可以用这个表达式来代替。 这样实际上我们就做完了。 我们已经用 x 来表示了这个结果。 还有另外一种技巧， 或许你在微积分的课程中见过， 我们知道 u=cos(θ)， 我们知道这个关系， 我们怎样用 x 表示 u 呢？ 我们说，让我们画一个直角三角形， 像这样的直角三角形， 画出这个直角三角形，他们会说， 看，sin(θ) 是 x/3， 如果我们说，这就是 θ 角， sin(θ)就是斜边的对边， 斜边的对边等于 x/3， 我们可以说这是 x 而这是 3， 那么 sin(θ)就是 x/3， 我们来看这里的第一个替换， 为了找到用 x 表示的 u 是什么， 我们要找到 cos(θ) 是什么， cos是斜边的邻边， 所以我们要找到这个邻边是什么。 我们可以使用勾股定理来求解， 勾股定理告诉我们， 它就是根号下 斜边的平方，也就是 9， 减去另一条边的平方，减去 x平方， 由此， 我们完全可以用 x 来表示这个直角三角形。 我们能认识到 cos(θ) 就等于这个邻边 根号下 (9-x平方) 除以斜边，除以3， 也就是 1/3 乘以 (9-x平方)，也就是 如果我们把1/3 乘方然后放进根号里面， 我们求平方， 1/3 就是根号下 1/9， 所以就可以重新写为 根号下 1/9乘以(9-x平方)， 其实，我们就是把 1/3 放进根号内， 现在它是1/9。 现在，它就和 根号下（1-x平方/9）相同了， 它与这里的表达式完全相同。 x平方/9 就等于 (x/3)平方。 两个方法，你可以得到同样的结果。 我发现，用这里的三角恒等式 用sin(θ)来表示 cos(θ)， 然后再做替换， 更简单一些。 现在，我们只需要把原有的表达式代入， 这两个中的任何一个都行， 这里的表达式， 和 (1- x平方/9)的1/2次方是一样的， u 就等于它。 任何有 u 的地方，我们只需把它代入， 这样，我们的最终用 x 表示的答案 就是 243 乘以 u 的5次方 它的 5 次方/5。 它的 5 次方就是-- （1 - x平方/9) 本来是 1/2次方，但是我们要升高5次方， 它就变成 5/2 次方， 除以 5， 减去它的 3次方， （1 - x平方/9) 的3/2次方 就是这里，除以 3，然后所有这些加上 C， 我们做完了。 这有点乱，通过使用第一个三角替换， 然后，u替换，或者说先用三角替换，然后 使用一些 三角函数的强大处理功能，我们就能得到 可以使用 u 换元法的形式， 然后，我们反向替换， 最终求出了这个不定积分。