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主要内容

𝘶-代入法

𝘶-代入法基本上是链式规则的反向运算. 换句话说,它有助于我们集成复合函数.
在求不定积分时,我们基本上是在做“反向微分”。有些例子很简单,比如当我们知道 x2 的导数是 2x,所以∫2xdx=x2+C。我们这样简洁明了地推理出其他本函数,比如 sin⁡(x), ex, 1x等等。
然而,其他情况并不这么简单。比如,∫cos⁡(3x+5)dx是什么?提示:答案不是sin⁡(3x+5)+C。试试求导你就知道了。
一个很有用地方法是换元法(让u等于某值),其实就是反向的链式法则。

将 u 是与不定积分替换

假设我们要求出∫2xcos⁡(x2)dx。其中 2x 是 x2的导数,也就是复合函数cos⁡(x2)的“内部”函数。换一种说法,我们让u(x)=x2和w(x)=cos⁡(x)得出:
2x⏞u′cos⁡(x2⏞u)⏟w=u′(x)w(u(x))
这说明我们需要利用换元法将 u 替换。让我们看看该怎么做吧。
首先,我们按照 x 将式子 u=x2 求导,且将 u 看作 x 的隐函数。
u=x2ddx[u]=ddx[x2]dudx=2xdu=2xdx
在最后一行中, 我们将等式乘以 dx , 以便将 du 隔离开来,虽然这有点不正统,但对我们下一步是有用的。所以我们得出 u=x2 和 du=2xdx。现在我们可以在积分中进行替换。
=∫2xcos⁡(x2)dx=∫cos⁡(x2⏟u)2xdx⏟du重新排列=∫cos⁡(u)du代入
代入后,我们剩下一个以 u 表达的 cos⁡(u) 的不定积分表达式。是不是方便了很多?cos⁡(u) 是个基本函数所以我们可以很直接地求出它的不定积分。唯一要做的就是让它变回以x表达的函数:
=∫cos⁡(u)du=sin⁡(u)+C=sin⁡(x2)+C
即,∫2xcos⁡(x2)dx is sin⁡(x2)+C。将 sin⁡(x2)+C 求导来检验。
关键知识点#1: 用 u 代入的换元法实际上就是反向链式法则:
  • 根据链式法则,w(u(x))的导数为w′(u(x))⋅u′(x)。
  • 在换元法(u)中,我们用w′(u(x))⋅u′(x) 形式的表达式然后求出其不定积分w(u(x))。
关键知识点#2: 换元法(u)使“内部”函数成为变量来帮助我们简化一个复杂的表达式。
问题 1.A
题目1会教你 u 代入的换元法的所有步骤。
∫(6x2)(2x3+5)6dx=?
我们如何定义 u?
选出正确答案:

常见错误:求出 u 或 du 的错误表达式

将错误的表达式代入 u 会得出错误的答案。比如说,在题目1中,u 必须为 2x3+5。如果将 6x2 或 (2x3+5)6 代入成 u 是行不通的。
记住: 为了让还原法中的 u 管用,被积函数必须能被写作:w(u(x))⋅u′(x)。而且 u 必须为复合因子的内部函数。
求 du 在解题过程中也很重要。u 得被正确求导,因为错误的 du 也会让答案错误。
问题2
小丁要求∫cos⁡(5x−7)dx。他的解题过程是这样的:
∫cos⁡(5x−7)dx=sin⁡(5x−7)+C
小丁做对了吗?如果不对,他错在哪?
选出正确答案:

常见错误:不知道何时该代入 u

记住: 积分一个复合函数,时我们不能只用外函数的不定积分。此时我们需要代入 u 来进行换元。
设 W 为 w 的不定积分,这一点可以用如下方法表示:
∫w(u(x))dx≠W(u(x))+C

另一个常见错误:把内函数和它的导数混淆

想象一下你要求出∫x2cos⁡(2x)dx,你可能会想“因为 2x 是 x2 的导数,所以直接代入 u 就好了”。事实上,因为代入u需要内函数的导数,为了让 u 的代入有效,那么 x2 一定要是 2x 的导数,不过这不成立。所以在这里就不需要代入 u 了。

又是我们需要将积分除以或乘以一个常数

想象一下你要求出∫sin⁡(3x+5)dx。当我们要解决符合函数 sin⁡(3x+5)时,它没有任何数相乘。一开始想想好像有点怪,但是让我们先看看做到后面会发生什么。
设 u=3x+5,然后 du=3dx。现在我们将 u 代入积分,不过得在我们做这画龙点睛的一步之后:
∫sin⁡(3x+5)dx=13∫sin⁡(3x+5)3dx
看看我们做了什么?为了让被积函数里出现 3dx,我们将整个积分乘以 13,由此我们可以一边代入 u 一边保证积分的值和原先一样。
继续代入:
=13∫sin⁡(3x+5⏟u)3dx⏟du=13∫sin⁡(u)du=−13cos⁡(u)+C=−13cos⁡(3x+5)+C
关键知识点: 有时我们需要把整个积分乘以或除以一个常数,这样一来我们就能得到一个可以让 u 代入的格式且不改变积分的大小了。
问题3
∫(2x+7)3dx=?
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