3 x 3 行列式

上个视频我们给出 2 X 2 矩阵的 行列式定义。 如果矩阵 B 看起来是这样，它的元素为 a, b, c, d, 我们已经定义了 B 的行列式。 该行列式可以写为 B 的两边带竖线， 也可以表示为该矩阵的元素 a, b, c, d 的两边带竖线。 我希望你分清楚。 带括号的这是矩阵。 如果只有这些竖直线 就是行列式。 而这个行列式，根据定义等于 ad 减去 bc。 也许在上个视频中 你已经知道其原由。 B 的逆矩阵等于 1／（ ad － bc ）乘以另一个矩阵， 而这个矩阵就是 把原来的矩阵 B 的 a 和 d 对调， 而且把 b 和 c 两个元素 前面加上负号。 这样就得到 B 的逆矩阵。 我们要问，这个计算 B 的逆矩阵的式子成立的条件是什么？ 答案是只要前面分母部分的式子不为零， 这个计算 B 的逆矩阵的式子就成立。 所以你可以看到它很重要。 我们称它为行列式。 结论是当且仅当矩阵 B 的行列式不等于零时， B 是可逆矩阵。 原因是如果该行列式为零， 计算逆矩阵的公式就没有定义。 从前面构建增广矩阵的方法里 可以得到这个结论。 重要的是我们有了 2 X 2 矩阵的行列式的定义。 我们已经会处理 2 X 2 的矩阵， 接下来在线性代数中我们希望能把该方法扩展到 有更多行或列的矩阵。 所以下一步，我们也不要冒进，让我们 先来对付 3 X 3 的矩阵。 先来确定它的行列式。 设立一个 3 X 3 的矩阵。 假设这个矩阵 A 是 － 我来填它的 元素 － 第一行、第一列， 第一行、第二列， 第一行、第三列。 接下去有 a21，a22，a23。 然后有 a31 即第三行、第一列， a32 即第三行、第二列，最后 a33。 就是3 X 3 的矩阵。 三行且三列， 3 X 3矩阵。 我来确定 A 的行列式。 下面就是定义。 这个 3 X 3 的矩阵 A 的行列式 等于 － 写起来有些冗长， 不过别担心你最后会掌握它。 在下面几个视频里我们要多次 运算行列式。 所以你很快就会熟悉它。 有时计算会多些。 我们用到矩阵 A 第一行的元素。 第一项是 a11 乘以划去其所在的第一行和第一列 所余下的 2 X 2 矩阵的行列式。 所以如果你划掉这个元素的行和列， 剩下的矩阵是这样。 因此 a11 乘以由 a22，a23，a32， a33所组成的矩阵之行列式。 就是这样。 这是第一项，符号是正的。 刚才强调这一项是正的， 因为下一项是负的。 这里的一项是负的。 这一项是负 a12 乘以划去其所在的 行和列而剩下的元素构成的矩阵之行列式。 这些是所乘的行列式的元素。 这些元素包括 a21，a23，a31，a33。 还有一项。 你大概可以猜到下一项是什么。 下一项是正的 － 我要换一个更好的颜色。 这一项是正 a13 乘以 A 的子矩阵的行列式。 我们现在就叫它子矩阵。 就是这个矩阵。 其元素包括 a21，a22，a31，a32。 这就是 3 X 3 矩阵的 行列式的定义。 这样定义的原因是， 一个 3 X 3 矩阵的行列式 － 我还没有告诉你 － 的性质是一样的。 如果该行列式等于零， 你就无法得到该矩阵的逆矩阵。 条件是行列式得这样定义。 如果该行列式不等于零，你可以 找到该矩阵的逆矩阵。 这就是缘由。 我还没有证明这个性质。 证明它比较 复杂。 要花比较长的篇幅。 过程中还容易出错。 这个结论和 2 X 2 的矩阵是一样的。 你可能想看到这个性质能 运用到一个具体的矩阵上，因为 到现在为止我们还只看到抽象的公式。 如果运用到一个具体的矩阵上， 你会发现还挺好用。 我们来个具体的例子，比如 有个矩阵的元素是 1，2，4，2，－1，3，4，0，1。 所以根据定义，这个矩阵的行列式 － 我们称该矩阵为 C － C 就是这个矩阵。 如果我们要计算 C 的行列式， 该行列式表达式的第一项等于 － 以这个元素， 就是 1 － 乘以其中 一个子矩阵的行列式。 这个子矩阵的元素有 －1， 3， 0，1。 就是这样。 注意我把这个元素所在的 行和列都去掉了。 剩下的元素是 －1，3，0，1。 下一项，取这个元素。 这里要注意一点。 正负号变了。 这里第一项是正号， 下一项是负号。 所以就是 －2 乘以 去掉该元素所在的行和列得到的 子矩阵的行列式。 剩下的元素为 2，3，4，1。 我把其它的元素去除了。 我把这一行和这一列 的元素去除了， 你就可以看到剩下2，3，4，1。 这就是我刚才写在这里的元素。 我们式子里三项的正负号分别是正、负、正。 最后一项是 + 4 乘以 去掉这一行和这一列所得的子矩阵的行列式。 其元素为 2，－1，4，0。 接下来就直截了当。 算起来也容易。 我们来算一下。 第一项等于 1 乘以 什么？ 第一部分是－1 乘以 1。 我把它全写出来。 －1 乘以 1 减去 0 乘以 3。 这部分源于 2 X 2 行列式的定义。 我们学过这个定义。 下一项是 －2 乘以 2 乘以 1 与 －4 乘以 3 之差。 最后一项是正 4 乘以 2 乘以 0 与 1 乘以 4 之差。 我把式子展开了让人看清楚。 这项就是上面的这一项。 前面还要乘以 4。 那一项就是上面的那一项。 它是这个 2 X 2 的子矩阵的行列式 的展开式。 我们来算一下。这项是 －1 乘以 1 等于 －1。 减去 0 。 所以这项为 －1 乘以 1，等于 －1。 下一项等于多少？ 这部分等于12。 括号里面是 2 减去 12。 对吧？ 2 乘以 1 减去 4 乘以 3。 结果是 －10。 括号里面等于 －10。 然后把 －10 乘以 －2。 这项等于 20，对吧？ －2 乘以 －10。 最后我们看绿色的部分，2 乘以 0， 就是 0。 然后 －1 乘以 4 等于 －4。 因为前面有个负号，结果是正 4。 这样括号里面就是正 4。 4 乘以 4 得 16，整项就是正 16。 全部加起来等于多少？ 20 加上 16 减去 1。 等于 35。 算完了。 我们算出了 3 X 3 矩阵的行列式。 不错吧。 这就是 C 的行列式的计算结果。 因为它不等于 0，故 C 可以有逆矩阵。 下个视频里，我们要把这个性质扩展到 n X n 的矩阵。 -