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投影简介

计算向量在一条线上的投影. Sal Khan 创建

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视频字幕

假设我有一条穿过原点的线 让我画在R2内,但这个可以延申到 任意Rn内 让我画坐标轴 这是我的坐标轴,画得不完美,但 你可以看出来 让我画一条穿过原点的线 这是那条线 我们知道Rn内的线——我们现在再R2内—— 所有的标量乘以 某个向量 假设这里就是那个 线上的向量 我们可以定义这条线 我们可以说l等于所有标量的集合 乘以——让我们说v,就是这 所以这是所有的标量乘以我们的向量 v,根据标量定义,这是一个 实数 很显然,任何和v相乘的数 无论正数、负数、 小于1的数、或者分数,你都会 得到一组向量,其可以定义或指向 这条穿过原点的线上的所有点 我们知道,如果这条线 不经过原点,你就得用某个 向量偏移一下 这就得是一个其他的向量加上cv 无论如何,我们从这条经过 原点的线的定义开始 我这个视频想做的就是定义一下 将其他一个向量x投影到l上l上 让我把向量x画出来 假设这就是那个向量x 现在我要给你投影的概念 然后我将给出其精确的定义 我想象得投影是如果你有一个 光源,如果其垂直或者与 我们的线正交——假设我们的光源 这样照下来,我画这个方向 是因为这样垂直于直线,我想象中 x的投影是x的影子 所以如果光线这样照,我就画 像这样垂直的线,然后x在l上的影子 就是这个向量 所以我们可以把它看成x在l线上的投影 这是一种思考方式 另一种思考方式是,你可以把它想成 无论怎样,就是x在l方向走了多少? 其技巧是一样的 你可以从x到l画垂线,然后你说,好的 那我需要在这个方向走多少才能 到垂涎呢? 这两种方式就是我投影的大致 思路 既然影子是目的,那为什么 将其称作投影呢? 当你做投影时,你投出光线 然后寻找在哪里光照到了墙 在这其实就是这样 你在投影光束然后寻找 光纤击到了线上 但你不能用这个定义来解决任何问题 这是投影的一个比较本能的 理解 所以我们需要找到一个能计算的方式 或者精确的数学定义 当我创建这个投影时可以做的一件事 ——让我画另一条线或者向量的 另一个投影,你就能知道方法了 如果我在这有另一个向量 其到这条线的投影看上去 像这样 你画垂涎,其投影 就像这样 但我并不像只说这个情况 我想给你一个如何描述 任意向量投影的情况 所以我们要怎么理解这个例子呢? 在任意情况下,无论我怎么感知,我 会在这画垂线 如果我们在这创建一个向量 我们可以说,这个向量 永远都垂直于这条线 我们可以这么做 如果不能这么做我就不会说了 让我来定义这个还没 定义的向量 这个向量是什么? 如果这个向量——让我只用其中一个 我们想要得到这个蓝色的向量 让我继续用蓝色 这个蓝色的i昂立时x到l的投影 这是我们想得到的 我们现在可以看的时这个 粉色向量 这个粉色向量时什么? 我刚画的粉色向量,时向量x 减去投影,减去这个蓝色的向量 减去x在l上的投影,是么? 如果你把投影加到粉色向量上,你会得到x 如果你把这个x的蓝色投影加到x减去 x的投影,你肯定会得到x 我们还知道这个粉色的向量和 线本身正交,这意味着这个线上所有的 向量正交,也就是和他们的点积 为零 让我来用这个方法定义投影 这个投影的定义会更加 数学一些 向量x在l上的投影等于 l上的某个向量,是么? 我花在这里,这个蓝色向量 我用白色来写 l上的某个向量,这可能不是很 直观,x减去x在l上的投影向量 和这条线正交 所以我说投影——这就是定义 我定义x在l上的投影,是l上某个向量 并且x减去这个投影正交于l 这就是定义 这更精确一些,并且我认为这 和之前的影子或者投影的想法 有联系 但我们要怎么使用这个呢? 这只是文字 我要怎么计算x在l上的投影? 这里主要的线索就是x减去x的投影 与l正交 让我们看看能不能使用 我们首先意识到,根据定义, 因为x在l上的投影是l上的向量 这意味着某一个标量与v的乘积 某个标量乘以我们定义向量,这里的v 我们也可以说,我们可以把x在l上的投影 换一种形式 我们可以写成某个标量乘以我们的 向量v,对不对? 我们可以说 这和投影是等同的 我们也知道x减去投影和l正交 我们也知道x减去我们的投影—— 我刚说过我可以将投影改写成 这个向量的某个乘积形式 你可以根据我画的方式看出来 这看上去差不多2乘以这个向量 所以我们知道x减去投影,这是我们的 投影,和l正交 正交的定义是其和任何在l上向量的 点积为0 所以我们用某个l上的向量点乘它 或者我们可以用这个向量v点乘它 这是我们对l的定义 让我们用v对其点乘,我们还知道 其必须为0 我们用这个向量点乘v 其必须为0 这必须是0 让我们用点积的性质来 计算下能否有一个c值,因为一旦我们 找到个定值c,我们就可以用其乘以 向量v,我们就能 得到投影 让我用具体数字给你展示下 让我们看看能够计算一个c 如果我们将c——不好意思,如果我们 将v分配,我们知道点乘 符合分配法则 这个表达式可以写成x点乘v,对吧? x点乘v减去c乘以v点乘v 我重新整理了 我么知道c减去cv点乘v是一样的 我们可以写成减去cv 这是减去c乘以v点乘v,然后这所有的部分 等于0 如果我们想要求出c,我们需要加两侧同加 cv点乘v 你会得到x点乘v等于c乘以v点乘v 要求c,让我们等式两侧 同除v点乘v 你得到——让我换个颜色 c等于这个:x点乘v除以v点乘v c是什么? 我们说过x的投影——让我写在这 x在l上的投影等于某个 标量的乘积,是吧? 我们知道其在线上,所以这是某个biaoliang 乘以 这个定义向量,向量v 我们刚刚求出这个标量乘积 是什么 这是x点乘v除以v点乘v,当然 其等于一个数字是不是? 这还是个标量 尽管我们所有向量都有了,当你 求其点积时,你会得到一个数字 你用这个数字乘以v 类似对v缩放,你会得到投影 在这个情况下,我画在这里,我的 点积应该最后结果是某一个接近2 的标量,所以如果我刚开始的时候用v 然后放大2倍,这个值就是2,然后我就会 得到类似这个的投影 这看上去很抽象,让我们 用一些具体的向量,这样 更容易理解一些 这里所有的一切都不仅限于R2 这里所有的一切都可以延申到任意 高维度,即使我们在R2,R2和 R3,也就是我们做投影最多的情况 这也可以适用于Rn 让我们做个具体例子 让我定义线l等于所有的标量 与这个向量的乘积——假设 向量2,1,c是任意实数 让我画一下坐标轴 这是纵轴 这是横轴 所以这条线是所有的标量乘以 向量2,1 让我们把这个向量2,1称作v 把其称作v 让我画出来 我走1,2,向上走1 这就是我的向量v 这条线就是所有的标量 与其的乘积 让我画出来 所有的标量乘以它 你可以顺着方向,也可以逆着方向 或者其中任何一个 这就是我的线,所有的标量乘以 向量v 现在假设我有另一个向量x,假设x 等于2,3 让我们画一下x。x是2,然后你走1,2,3 所以x看上去像这样 向量x看上去像这样 让我画好一些 向量x看上去这样 这是向量x 我们想做的是找到 x在l上的投影 我们可以在这用这个定义 让我写下来 x在l山歌投影等于什么? 其等于x点乘v是不是? v是我们定义直线的向量 所以这等于x,也就是2,3,点乘v,也就是2,1 所有的这些除以v点乘v 所有的这点除以2,1,点乘2,1乘以我们 原始定义向量v 我们原始定义向量是什么? 就是这个,2,1 所以乘以向量2,1 这等于什么呢? 当你用这两个相互点乘,你会得到2乘以2 加3乘以1,所以4加3,得到7 这所有的简化成7 然后这个,你得到2乘以加1乘1 就是4加1是5 你得到7/5 这就简化成了5 这简化速度很快 你可能被这个奇怪的表达式唬住 但你点积时,他们的 简化速度很快 然后你乘以那个乘以你的线 定义向量 当我们放大7/5倍时 我们用其乘以向量2,1 你会得到什么? 你得到向量——让我换个新颜色 你会得到向量,14/5和向量7/5 我们可以画出来,或者画得更好 让我用小数形式写出来 14/5是2和4/5,也就是2.8 然后这是1和2/5,就是1.4 所以x在上的投影就是2.8和1.4 2.8差不多就在这,我往右走1.4 就在这,这个向量差不多就在这 我还没有很精细地画 但你知道大致意思就行 这就是投影 我们的计算证明了 这是x在l上的投影 如果我们在这画垂线,我们知道 其和我们之前说的x在线上的影子 是一致的 我们现在可以计算投影了 在下个视频中,我将给你们展示 这个计算的矩阵形式 其本质是矩阵转换