单位向量

我们在好多个视频以前 就学习了向量长度的概念 更多课程尽在网易公开课频道 http://open.163.com/ 但我发现我忘记提到 一个重要概念了 这个概念 在作某些变换的时候 将非常有用―― 准确地说 是下个视频中我将介绍的“投影” 我忘了要讲的概念 就是单位向量的概念 加入网易翻译小组 请发邮件至 163open@vip.163.com 单位向量其实就是 长度为1的向量 我们已经定义过向量的长度 它的长度为1 如果某个向量是单位向量 假设这个向量u是个单位向量 它是Rn中的一个向量 也就是说 向量u 看着是这样 它有n个分量 从u1一直到un 我们知道这个向量的长度 对吧？ 我们知道向量的长度 有时候也叫向量的模 就等于根号下的 所有分量的平方和 你可能已经想到 这其实就是 某种程度上 这是毕达哥拉斯定理的推广 【注:即勾股定理】 因此它的长度就是u12+u22 一直加到un2 然后再取平方根 如果这是个单位向量 如果这是个单位向量 这是个单位向量的话 那就意味着 u的长度是1 这与我们 考虑的空间维数无关 这个空间可以是R100也可以是R2 在任意的空间中 一个单位向量 长度都是1 这就引出了一个当然的问题 如何构造一个单位向量呢？ 假设有一个向量v 假设它不是单位向量 它可以表示为v=[v1,v2,…,vn] 我想把它变成某个向量u u是个单位向量 它有同样的方向 u跟v具有相同的方向 但u的长度是1 我要如何构造这个向量u呢？ 可以这么做 我先算出v的长度 我们可以先求出v的长度 我们知道怎么求 只要直接应用这个向量长度的定义 那么当我求出v的长度 然后用向量v乘以它的时候会怎么样呢？ 如果我假设u等于 1/|v|再乘上向量v呢？ 会发生什么？ 如果我求这个向量的长度 得到什么？ u的长度就等于 这个标量的长度 我们知道这个就表示一个数 对吧？ 它等于这个标量 假设v是个非零向量 这个标量乘以向量v的模长 我们可以把 这个标量提到式子前面 我们可以证明―― 我觉得在之前的视频中已经证明过了―― |cv|就等于 c乘以|v| 我写一下 这其实就是 我这里的方法 如果我求c乘以向量v的模长 它会等于c乘以|v| 我曾经证明过这个 在我第一次介绍向量长度的概念的时候 因此我们得到这个会等于 1比上|v|―― 这其实就是c――乘上 那么这个 就是这里的这个 再乘上这个 乘上|v| 那么这个会等于什么？ 一个数的倒数乘以这个数 就会等于1 因此这就是个单位向量 如果你要求一个单位向量―― 有时候也叫正规化向量―― 使它与向量v同向 你只需要 用Rn空间里向量模长的定义求出|v| 然后用1比上这个长度 乘以向量v―― 那么这只是个标量―― 然后你就得到了要求的向量u 我来举个例子 保证你弄明白 假设在R3空间中有向量v 假设v=[1,2,-1] 向量v的长度是多少？ 向量v的长度就等于 根号下的12+22 再加上(-1)2 那就等于 1+1+4的平方根―― 也就是√6 这就是v的长度 如果我要构造一个正规化向量u 使它与向量v同向 我可以直接令u 等于1/|v|―― 1/√6――乘以v 也就是乘以[1,2,-1] 也就是各分量分别等于1/√6 以及2/√6 还有-1/√6 |u|等于1的证明 就留给你们来做 我再向你们介绍一个 经常看到的东西 当一个向量是单位向量时 在表示向量字母的上面 往往画的不是这个小箭头 表示一个单位向量的时候 往往是画一个尖号表示 像这样 这就表示我们处理的是 一个单位向量 对于那些学过向量分析课程 或者学过一点工程学的人 可能很熟悉 向量i,j和k 为什么这里是尖号呢? 是因为它们都是R3中的单位向量 它们都是R3中的向量 同时它们都是单位向量 它们实际上是R3中的基向量 那些已经 看过我关于线性变换视频的人 它们与向量e1―― 我们同样可以加上尖号―― 它们与向量e1 e2和e3等价 也就是R3中的标准基向量 现在我已经把它介绍给你了 以后的视频中 我就可以使用 单位向量的概念了 更多课程尽在网易公开课频道 http://open.163.com/ 加入网易翻译小组 请发邮件至 163open@vip.163.com 更多课程尽在网易公开课频道 http://open.163.com/ 加入网易翻译小组 请发邮件至 163open@vip.163.com 更多课程尽在网易公开课频道 http://open.163.com/ 加入网易翻译小组 请发邮件至 163open@vip.163.com 更多课程尽在网易公开课频道 http://open.163.com/ 加入网易翻译小组 请发邮件至 163open@vip.163.com