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主要内容

矩阵的零空间简介

矩阵的零空间是一个合法的子空间. Sal Khan 创建

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我们再来复习一下子空间 然后来看看是不是我们可以定义一些有趣的 处理矩阵和向量的子空间 所以一个子空间――比如我有某个子空间 哦 就称它为子空间S吧 如果下述条件成立它就是子空间―― 这都是复习――0向量―― 我这样来讲―― 0向量 是属于S的 所以它包含0向量 然后如果v1和v2都在子空间内 则v1加上v2也在子空间内 这就是说 子空间在加法下是封闭的 你可以相加任何两个向量 你就会得到子空间内的另一个向量 然后最后一点 如果你还记得 就是子空间在乘法下封闭 使得如果c是实数 它是一个标量 如果我乘以 v1是子空间内的向量 则如果我将任意的实数 与这个子空间内的向量相乘 就是v1我就得到子空间内的另一个向量 所以它在乘法下封闭 这些都是子空间的性质 这就是子空间的定义 如果你称某个东西是子空间 这些条件必须都满足 现在我们来看看是否能做一些有趣的 关于矩阵向量乘法的理解的东西 比如我有矩阵A―― 我写成漂亮的黑体 它是一个m×n的矩阵 我对于下述东西很感兴趣 我要建立齐次方程 我们要来讲一讲它为什么是齐次的 好 我等一会儿再说 我们先来建立这个方程 矩阵A乘以向量x等于0向量 这是齐次方程 因为这里有一个0 我要问―― 我在讲子空间 如果我取所有的x―― 如果我取全体所有的 所有满足这个方程的x的集合 这是一个子空间吗? 我们来考虑一下 我要取所有的Rn中的x 记住 如果矩阵A有n列 则我定义了 矩阵乘法 如果x有r个分量 如果x有n个分量 那才是有定义的 我来定义一个集合 包含所有Rn中的向量 它们满足 方程A乘以x 等于0 我的问题是 这是一个子空间吗? 这是一个成立的子空间吗? 第一个问题是 它包含0向量吗? 要是它包含0向量 那么0向量必须满足这个方程 任何一个m×n的矩阵A乘以0向量是多少? 我们来写出矩阵A_ 矩阵A a11 a12 直到a1n 然后这个 向下的列 我们向下直到am1 然后向下直到 这里 到amn 我要将这个和0向量相乘 这个有n个分量 所以0向量的n个分量是0 0 有n个0 这里的分量数必须 和列数是相同的 但是当你取积的时候 这个矩阵向量积 得到的是什么? 我们得到了什么? 好 上面的第一项是a11乘以0 加上a12乘以0 加上这里的每一项乘以0 你把它们都加起来 a11乘以0 加上a12乘以0 直到a1n乘以0 所以结果是0 现在这一项是a21<i>0 加上a22</i>0 加上a23<i>0 直到a2n</i>0 这个 明显地 是0 继续这样做 因为所有这些都是 实际上―― 你可以把它看做是点积―― 我没有定义行向量 与列向量的点积 但我想你应该理解―― 这些每个元素 乘以 这个向量对应的分量 当然啦 你总是以0相乘 然后相加 所以你什么也没得到 只是一串0 所以0向量满足这个方程 即A乘以0向量等于0向量 这是非常不寻常的标志 我把它写成这样 因为我不喜欢 总是把0写成黑体 来使得你们认出它是一个向量 所以我们证明了第一点成立 0向量是这个集合中的一个元素 我来定义我的集合 我定义它为 我等一会儿再告诉你们为什么我称它为 那么现在我们知道了0向量 是集合N中的一个元素 现在比如我有两个向量 即v1和v2它们是―― 我写下来 比如说我有两个向量 v1和v2 它们都是这个集合中的元素 这意味着什么? 这意味着它们都满足这个方程 这就意味着A――矩阵A―― 乘以向量v1是0 这是由定义得到的 它们是这个集合中的元素 这就意味着它们必须满足这个 字这也就意味着A乘以向量v2 是0向量 要使这个在加法下封闭 A乘以向量v1加上向量v2 这两个向量的和 应该是N中的一个元素 但我们来看看它是什么 这两个向量的和是这个向量 这个等于―― 我还没有证明这个 我没有做证明这个的视频 但证明这个很简单 仅由矩阵向量乘法的定义就可以 由矩阵向量乘法 可以发现分配律 或许我应该做一个关于这个的视频 但严格来说 你仅需要理解 每一项的结构 这个等于Av1加上Av2 我们知道这个等于0向量 而这个也等于0向量 如果你将0向量和它本身相加 这个全体还是0向量 所以如果v1是N中的元素 v2也是N中的元素 就是说它们都满足这个方程 那么v1加上v2也仍然是N中的元素 因为当我将A与它相乘时 我又得到了0向量 我把这个结果也写下来 我们现在知道哦v1+v2也是N中的元素 而我们要说明的最后一点 就是它在乘法下封闭 比如说v1是我们定义的空间中的元素 它满足这个方程 那么c*v1呢? 它是N中的元素吗? 好 我们来看看 矩阵A乘以这个向量是什么 好 我要将这个和这个标量相乘 我要算得另一个向量 我不想写大写的V 小写的v 它是一个向量 这个等于什么? 好 再一次地 我没有证明 但它是一个非常直接的结论 说明了当你处理标量时 如果你有一个标量 你是在与矩阵相乘之前将这个标量 与向量相乘 或是将这个矩阵先乘以向量 然后再算标量都没有关系 所以要证明 这个等于c乘以矩阵A是很显然的―― 我把它写成漂亮的黑体 乘以向量v 这两个是相等的 或许我应该在视频里讲一讲这一点 但还是留给你们做吧 你 按部就班地 理解 分量与分量的机理 然后就会明白了 但很显然地 如果这是真的 我们已经知道v1 是这个集合中的元素 这就意味着A乘以v1是0向量 所以这个就意味着 这个就化简成c0 仍然是0 所以cv1是N中的元素 所以它在乘法下是封闭的 我先假定这个是成立的 但或许我要在另一个视频里证明这个 但我要做这些来说明 这个集合N是一个子空间 这是一个子空间 它包含0向量 它在加法下封闭 它在乘法下封闭 事实上我们用一个特殊的名字来称呼它 我们称之为 我们称 为A的零空间 或许我们可以把A写成―― 或许我不应该写成 我们来用橙色吧 橙色的N等于―― 这个的含义就是A的零空间 或许我们可以讲零空间写成是 橙色的N 而按照字面含义 如果我给出任意矩阵A 我说 嘿 给我找到A的N 那是什么? 照字面意义 你的目标是要找到所有 满足方程Ax=0的x构成的集合 我要在下一个视频中来讲解