零空间3: 与线性独立的关系

- [讲述者]那么我这里有一个矩阵A， A有m行n列， 那么我们可以把这个矩阵称为一个mxn的矩阵。 我在这个视频里要做的是， 将A的列向量的线性无关，或者线性相关， 与A的零空间关联起来。 那么首先， 我所说的列向量是什么呢？ 如你所见，这个矩阵有n列， 我们可以把每一列看做是一个m-维度的向量。 那么，让我这么做， 这样你就可以把这里的这一列， 我们可以把它写作V1， V1， 旁边的这个，这就应该是V2， V2， 你会得到n个这样的向量，因为我们有n列， 那么这里的这一个就会是Vn， Vn。 因此我们可以重写矩阵A，我们可以把矩阵A重写， mxn的矩阵A， 我把这里加粗了来强调这是一个矩阵， 我们可以把它重写成， 那么让我用同样的方式来写， 把括号画在这里， 我们可以把它写成，或者说 用它的列向量表示它， 因为我们可以说，这个就是 这一列就是V1， 这一列就是V1， 这一列就是V2，一直到， 我们总共有n列， 所以你就会得到，第n列，Vn。 并且记住，这里的每一个，都会有m项， 或者我应该说，每一个都包含m个部分。 这些都是m-维的列向量。 现在我要做的是，我说我想要 把这些向量的线性无关性， 跟矩阵A的零空间关联起来。 那么首先让我们回顾一下A的零空间是什么东西。 A的零空间， A的零空间， 就等于，或者我应该说等于一个集合， 这个集合是所有的向量x， 它们都是R^n的成员， 然后我一会会再强调为什么我说R^n, 它们满足， 如果我拿我的矩阵A， 如果我拿我的矩阵A， 然后用它乘以这些x中的其中一个， 这些x中的其中一个， 我就会得到，我就会得到零向量。 那么，为什么，为什么x必须是R^n的成员呢？ 原因是为了使得矩阵乘法能够运算， 如果这是m乘以n，让我把它写下来， 如果这个是m乘以n， 为了使得矩阵乘法能够运算 或者你可以说矩阵向量乘法， 者必须是一个n乘1， 一个n乘1，向量， 因此它会有n个部分， 因此它是R^n的一个成员。 如果这是m乘A，或者，我还是换一个不同的字母吧， 如果这是m乘，比如说，7， 那么这就会是R^7，这就是我们正在处理的东西。 那么刚刚说的就是零空间。 另一种思考这个问题的方法是， 如果我取我的矩阵A， 然后我用它乘以某个向量x， 它是这个零空间的一个成员， 我就会得到零向量。 如果我取我的矩阵A， 我在这里已经把它用列向量的形式表示了， 用它乘以某个向量x， 某个向量x， 并且，实际上让我再澄清一下， 它不需要有相同的， 这里的某个向量x， 我们写上括号的另一边， 那么这个就是向量x，然后 它就会有，它是R^n的一个成员， 因此它就会n个部分， 你就会有x1，也就是第一个部分， x2，并且一直到，xn。 如果你进行乘法，那么如果我们说这个x 是A的零空间的 一个成员，那么， 这整个东西就会等于零向量， 就会等于零向量， 再说一遍，零向量， 这就会是一个m乘1的向量， 它看起来就会像是，实际上让我这样写它吧， 它就会有跟A一样的行数， 我会尽量写出来， 括号大概是一样的长度， 好了，我尽力把括号画的清楚了， 那么你就会有m个这些东西，1，2， 然后一直到第m个零。 那么，让我们把它乘出来， 用我们已知的矩阵乘法的知识。 根据矩阵乘法的定义， 一种看待这个问题的方式是， 如果你要用我们的矩阵A 乘以这里的向量x， 你就会得到第一个列向量，V1， V1， 乘以这里的第一个分量，x1， x1， 加，第二个分量乘以第二个列向量， x2乘以V2， V2， 然后我们要这样做n次， 所以加上点点点 xn乘以Vn， Vn， 并且当你把所有这些加起来的时候 就会等于零向量。 现在这个就应该是，这个， 它就会等于零向量， 现在你应该开始想起一些东西了， 当我们这样看它的时候，当我们看线性无关性 我们看到过一些像这样的东西， 实际上我们看到的这些向量V，V1，V2， 这n个向量，是线性无关的当且仅当， 任一线性的，当且仅当这个的解， 或者我想你可以说这些向量的权重， 唯一一个使得这个成立的方式 是如果x1，x2，xn全都等于0。 那么让我把它写下来。 V1， V2， 一直到Vn， 是线性无关的，线性无关的， 当且仅当，当且仅当， 唯一解，让我，唯一解， 或者你可以说这些向量的权重，对于这个等式， 唯一的解是 x1，x2， 一直到xn都等于0。 那么如果这里的唯一解， 如果唯一能使得这个和 等于零向量的方式， 是如果x1，x2，和x，一直到xn， 都等于0。 那么这就意味着我们的向量V1，V2， 一直到Vn，是线性无关的， 反之亦然，如果它们是线性无关的， 那么这个等式的唯一解， 如果我们解出这些向量的权重， 就是x1，x2一直到xn都等于0。 记住，线性无关性，如果你想说， 这仍然是数学的， 但是一点更通俗的说法是， 如果这些向量都是线性无关的， 这就意味着这些向量里没有一个可以通过 线性组合其它的向量来得到， 或者这样看待这个现象， 这里的这个是a，你可以把它看做是 其它向量的一个线性组合， 那么唯一一个得到这样线性组合的方式 就是所有的向量都等于0， 如果x1，x2一直到xn 都等于0， 我们已经在其它的线性无关性的视频里证明过了。 那么如果这个的唯一解 是所有的x1到xn都等于0， 这就意味着零空间， 你可以说这只会成立， 当且仅当，A的零空间， A的零空间， 让我确保它看起来像一个矩阵，我这里加粗了， A的零空间只包含一个向量， 它只包含零向量。 记住，这就是，如果这些都是0， 那么这里唯一的解 就是零向量， 就会是，就是零向量。 那么我们这里所展现的结果就是， 如果一个矩阵的列向量是线性无关的， 那么这个矩阵的零空间 就只会包含零向量。 或者你可以从另一边来说。 如果一个矩阵的零空间只包含零向量， 那么这就意味着这个矩阵的列向量 是线性无关的。