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标量与向量相乘

看看 Sal 通过将向量乘以标量来改变向量的大小。 Sal Khan 创建

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假设我们有一个向量a,它等于(2,1) 我们画在这里 它等于(2,1)如果从原点开始, 我们沿着水平方向移动2个单位,然后垂直方向移动1个单位 我们会到达这里 我想做的事,考虑一下 标量乘以向量是如何定义的 例如,如果我想将3乘以向量a 3乘以(2,1)等同于什么? 3是一个数字。 一种思考的方式是将标量视为数量 它只是一个数字,而相对的,向量告诉你 在不同方向上移动了多少 而它只是一个纯粹的数字在这里 但是,我们如何定义3乘以这个向量? 你脑中浮现的一个合理的想法会是 为什么我们不用3乘以向量的每个部分呢? 所以,它就等于是,我们有2和1 我们把每一个都乘以3 所以是3乘以2和3乘以1 得到的结果向量仍然是二维向量 得到二维向量(6,3) 现在我鼓励你拿出草稿纸来画出这个向量 想想它如何和这个向量相关 我们来做一下 所以,这个向量(6,3),如果我们从原点开始 我们沿着水平方向移动6,1,2,3,4,5,6... 在垂直方向移动3,1,2,3... 它到这里了。所以像这个样子 所以,这个向量发生了什么事情 注意,一种考虑的方式是,它改变了什么? 没有改变什么? 没有改变的,是它仍然指向同样的方向 这里这个有同样的方向 乘以标量,至少我们定义的方式, 没有改变我这个向量的方向 或者至少在这个例子中它没有改变,但是它确实改变了大小 它的大小现在是3倍长,这个合理 因为我们是乘以3 一种思考的方式是,我们比例放大3倍 标量比例放大了向量。这个很合理 或者,这就是标量这个词的来源 标量,当你乘以标量的话,它比例缩放一个向量 它把大小增加了3倍而没有改变方向 我们来做一些有趣的事 我们把一个向量a乘以一个负数 为了简单起见,我们乘以-1 我们将-1乘以a 按照刚刚的例行操作 我们将每个部分乘以-1 2乘以-1,是-2,1乘以-1,是-1 所以,现在-1乘以a得到(-2,-1) 所以如果我们从原点开始 我们要沿着水平方向,移动-2,垂直方向移动-1 所以,当我这么做的时候,向量如何变化了? 它反转了方向 乘以这个-1,它方向反转 它的大小没变化 但是,它的方向现在是正好相反的 这个是合理的,乘以一个负数,应该就是这样 实际上,当我们处理传统数字直线的话,就会是这样 如果你用5乘以-1,现在,你就会得到相反方向 你得到位置-5,在0的左边5个单位 所以反转方向是合理的 你可以想象,如果你,比如,用-2乘以向量a -2乘以向量a 我鼓励你停下视频,试下自己解决 这个得到什么?得到的图像化的向量是什么? 我们来看看,它等于-2乘以2得到-4 -2乘以1是-2,所以这个向量 如果你从原点开始,记住,你不用一定从原点开始 但是如果你从原点开始,它会,1,2,3,4,1,2 它在这里 我们要提醒一下自己,我们的原始向量a是这样 (2,1)在这里 然后,乘以-2,你得到的向量在这里 我们这样画出来 我有意的没有从原点开始 因为我们不用总是从原点开始 但是你得到的向量像这样 所以,向量a和-2乘以向量a的区别是什么? 负数将方向反转 然后这个两个把方向反转,然后把大小变2倍 但是因为是负数,它是反方向上的2倍大