2003 AIME II 题目1

我从 2003 年 AIME 试卷得到这个问题， AIME 就是美国数学邀请考试， 实际上，这是那个考试的第一题。 三个正整数的积，N， 是 6 乘以它们的和， 三个整数中的一个是其他两个的和， 找出所有可能的 N 的值，求和。 我们是在和三个正整数打交道， 这里我们有三个正整数， 我们来考虑这三个正整数， 我们叫它们 a, b, 和 c ， 它们都是正的， 它们都是整数， 这三个正整数的积， N， 就是 a 乘以 b 乘以 c 等于 N， 它等于 6 乘以它们的和， 我们用另一个颜色， 这是它们的积， 这三个正整数的积 等于 6 乘以它们的和， 所以，这就是 6 乘以 这些整数的和， a+b+c 而其中一个整数是其他两个的和， 我们只要指定 c 是 a 和 b 的和， 这没有问题， 它们只是名字，我们没有说 它们中的一个比另外的大或者小， 我们就说， a+b = c， 也就是一个整数是其他两个整数的和，c 是 a + b 的和， 找出所有的可能的 N 的值的和， 我们需要 对我们已经有的信息做一些整理， 或许我们可以得到数字的一些约束之间的关系， 这样，我们就可以 发现所有的可能性。 我们来看，我们知道 a+b=c， 这样我们可以用 a+b 代替 c ， 那么这里这个表达式就成为 ab，它是 a 乘以b ，乘以 c ， 但是我们不用c ，而在这里写上 a+b， 然后，它等于 6 乘以 a+b+c， 同样，我要用 a+b 来代替 c ， 然后，它能简化成什么？ 在右边，我们有 6 乘以 a+b+a+b， 这就是 6 乘以 2a+2b 就是把两个a 和两个b 加起来， 我们可以把 2 提出来， 如果提出 2 ，它就是 12 乘以 a+b 这里，在左边， 它还是 a 乘以 b, 或者说 ab 乘以 a+b， 所以 ab 乘以 a+b 等于 12 乘以 a+b , 这里就很有意思了， 我们可以两边除以 a+b， 我们知道 a+b 不会等于 0 ， 因为这些数必须是正数， 我这样说的原因就是假如它是 0 ， 除以 0 会给出没有定义的解。 如果两边除以 a+b， 我们的到 a 乘以 b 等于 12， 这样，所有题目给出的约束 经过处理后变成了这个表达式， a 和 b 的积等于 12， 有许多数， 许多正整数，你可以让它们的积 等于 12， 我们来尝试找出它们， 我在这里写下几列， 我们说 a，b，c， 然后我们关心它们的积， 我把它写在这里 abc， 如果 a = 1, b 就是 12， c 是它们的和，所以， c 就是 13， 1 乘以 12 乘以 13， 12 乘以12 是 144，再加上12 就是 156， 有兴趣的话，你可以验证它， 它等于 6 乘以它们的和， 它们的和是26， 26 乘以6 是 156， 它肯定是正确的。 它肯定符合这个约束。 它之所以是正确的，是因为我们根据这些约束， 把它简化为 a 乘以 b 等于 12。 我们再试一个， 2 乘以 6，它们的和是 8， 然后，如果我们求它们的积， 我们就有 2 乘以 6 是 12 再乘以 8 ，就是 96， 然后，我们来试 3 和 4， 3 加 4 是 7， 3 乘以 4 是 12，再乘以 7， 其实，我应该已经知道 a 乘以 b 总是 12， 所以，你只需要用 12 乘以最后一列， 12 乘以 7 是 84， 没有其他的了， 你肯定不能让它大于12， 因为那样你会面对非整数， 你会用到分数， 你也不能尝试它们的负数， 因为它们都是正整数， 就这些了。 这些就是所有可能的正整数， 如果你求它们的积，你得到12， 我们已经实质上是提出了因子12。 题目要求我们求出所有可能的 N 值的和， 那么，这些是可能的 N 值， N 是这些整数的积， 我们来求和， 6 加 6 是 12 加 4 是 16， 1 加 5 是 6，加 9 是 15 加 8 是 23，2 加 1 是 3， 我们得答案是 336 .