2003 AIME II 题目13

一个小虫在一个等边三角形的顶点上, 它会随机选择并沿边爬到两个它不在的顶点上, 小虫在第十次爬行后回到最开始的顶点的可能性是m/n, m和n互为质数, 求m+n。 m和n互为质数的意思就是, 将分数m/n化为最简。 我们开始思考这道题, 我们有一个等边三角形和三个顶点, A, B, 和C, 小虫在顶点A出发, 这个是小虫, 每一次它会随机选择两个顶点之一, 所以第一次, 它可能去B, 也可能去C, 下一步受上一步影响, 如果它在第一步去了C, 下一步是B或者A, 如果第一步去了B, 下一步就是A或者C。 我们来考虑一下, 我们想知道小虫在第十次动之后回到顶点A的概率, 我们就来分析一下每一步, 找到每一次运动后到达顶点A的概率。 这一竖列表示第一次运动, 顶点有A, B, 和C, 我们来考虑一下第一次运动, 第一次运动到达点A的几率是多少? 小虫要从点A出发去其他两个点之一, 所以运动到A的概率为0, 到达B的概率呢? 概率是1/2, 到达C的概率是多少? 也是1/2, 一半的可能去B, 一半的可能去C, 所有的概率加起来很明显必须等于1, 因为小虫一定会去一个顶点。 第二次动, 去顶点A的概率是多少? 有一半的可能小虫已经在B点了, 如果小虫在B, 有一半的可能去A, 所以可能性是一半乘一半, 这只是小虫在B点的情况下, 小虫还有1/2的可能在C点, 去A点的可能性同样是一半, 所以有1/2的可能性小虫从C点去往A点, 所以1/2乘1/2等于1/4, 加上B点的情况的1/4等于1/2, 现在考虑一下小虫在第二次运动到B的概率, 第二次运动时, 很明显小虫不可能从B点运动到B点, 唯一的始发点是C, 因为第一次运动后, 小虫已经不在A, 而是在B和C之一, 如果小虫已经在B, 它不可以不动, 所以唯一的可能性是小虫在C, 这样的概率是1/2, 就是这个数字, 所以如果小虫已经在C, 这有1/2的概率, 它还有1/2的概率去B, 所以总概率就是1/2乘1/2等于1/4, 那么小虫运动到C概率是多少? 回答的思路是一样的, 小虫在第一次运动后不会在顶点A, 它有1/2的可能去B, 还有1/2的可能去C, 如果它去了B, 又有1/2的可能从B去C, 所以去C的概率也是1/4。 总的来讲, 我来做一些规律的总结, 假设小虫运动了N次, 设它回到顶点A的概率是P(A), P(B)是第N次运动后小虫到达B的可能性, P(C)是第N次运动后小虫到达C的可能性, 现在我们来思考一下在第n+1次运动后的可能性, 要在第n+1次运动后到达A, 小虫必须在第n次后到达B或者C, 出发点不可以是A, 所以在第n+1次运动后到A的可能性是, 到B的可能性乘以1/2, 因为如果小虫已经在B点, 它有1/2的可能性去A, 再加上到C的可能性乘以1/2, 无论小虫在B点还是C点, 都有1/2的可能去A。 n+1次运动后去B的可能性是多少? 到达B有两种方法, 如果小虫从A出发, 到达B的可能性就是在A的可能性乘以1/2, 从C出发的话, 到达B的可能性就是在C的可能性乘以1/2。 如果你在做这道题的时候没有多少时间, 你不能做这些思考, 我们先把P(C)完成, 在第n+1次运动后到达C的可能性, 就是P(A)乘以1/2, 加上P(B)乘以1/2, 希望这样的对比可以让规律更清楚,