面积外接半径公式证明

在这个视频中我想讨论一下 一个联系 在三角形的面积 和它的外接圆之间 或者是外接的圆 在我们讨论外接圆之前 让我们先讨论一下三角形的面积 举例来说 如果有一个长这个样子的三角形 我并不想让它看起来像个等腰三角形 所以让我改正一下 让它看起来不像是一个特殊三角形 让我们叫它三角形ABC 这些是它的顶点 a为A角的对边 同理 这里是b 这里是c 我们知道怎样计算这个三角形的面积 如果我们知道了它是什么三角形 如果我们在这里画它的高 并把它标为h 那么三角形的面积【ABC】 我们在ABC外括上了括号 来表示这是ABC的面积 等于1/2乘以底 也就是b 乘以高 显而易见 我们现在有了一个面积的表达式 现在让我们看看是否可以 将这些表示面积的元素 与三角形外接圆的半径联系起来 三角形外接圆是一个圆 经过三角形的三个顶点 每个三角形都有一个外接圆 让我试着画一下 这非常有挑战性 所以外接圆看起来是这个样子 这差不多像是一个圆了 大致是这个意思 这就是这个三角形的外接圆 或者是外接的圆 让我来标注一下 这是三角形的外接的圆 让我们来考虑一下这个外接圆的圆心 也称外心 看起来外心会在 我也不知道 目测一下 会正好在b上 在这里 所以这就是外接圆的圆心 让我们画一条外接圆的直径 并且过顶点B 穿过外心 一直延伸到这里 我们叫这一点D 让我们造一个以A B D为顶点的三角形 我们可以在这里画另一条线 形成了三角形ABD 我们在几何中讲到过 而且这个知识点并不难证明 任何一个内接于圆的三角形 如果这个三角形的一条边 是圆的直径 那么这将会是一个直角三角形 并且90度的那个角 将会是直径所对的那个角 所以这个角是直角 你可以非常直接得得到它 你在这里有一条180度的弧 因为它是直径 并且它是这个圆周角的对边 我们还证过 一个圆周角 对着一条弧 将会是弧的角度的一半 所以这条弧是180度 所以这个将会是90度角 所以这两种证法都让我们得到 这个角等于90度 另一个要考虑的问题 是对于这条弧 我用品红色画的 这条弧AB 这条弧对应了两个不同的角 它既对应了角ACB 对应了这个角 它还对应了角ADB 这就是为什么我们这个画辅助线构造图形 它还对应了这个角 所以这两个角是相等的 它们都将是一半的 弧的角度 因为它们都是圆周角 对应着相同的弧 现在有意思的事情出现了 我们这里有两个三角形 三角形ABD和三角形BEC 它们有两对角相等 它们有直角和这个紫色的角 所以剩下的第三个角也一定相同 我们用黄色来标注它 第三个角必定等于这个角 它们有三对相等的角 所以这两个三角形相似 或者说对应边的比例 一定相同 所以利用这条信息 我们关联这条边的长度 也就是直径 2倍的半径 和这个小一点的三角形的高度 我们知道它们之间的关系 在小三角形的高 和面积之间 我们现在到了解题的最后阶段 让我们着手开始吧 这两个是相似三角形 我们知道c和直径之间的比例 直径的长度是多少呢？ 它是2倍的半径 这个是半径 我们知道c和2倍半径之间的比例 将对等于h 我们要确保我们用的是同样的边 和这个三角形斜边之间的比例 等于h比上a 我们解这个的方法是 我们找到对应边 c和斜边 都相邻于这个角 所以你有了h和a 所以c比上2r等于h比上a 或者可以做很多事 第一 我们可以解出h 然后通过替换h 代入一个含有面积的表达式 让我们就这么做 如果我们利用这个面积的表达式 我们可以在等号两边同时乘以2 并且同时除以b 这两个消掉了 我们得到h等于3倍的面积比上b 我们也就可以整理这个式子 得到c/2r等于h 也就是2倍的这个三角形的面积比上b 这些全部 比上a 或者我们可以把这第二部分重写在这里 写成2倍的面积比上 我们先除以b再除以a 也就是等价于除以ab 所以我们可以忽略掉中间的步骤 所以我们得到c/2r等于2乘以面积比上ab 现在我们进行交叉相乘 ab乘以c等于2r乘以2【ABC】 也就是4r乘以三角形的面积 也就是交叉相乘这个和这个 等于那个乘以那个 我们知道交叉相乘也就是 等式两边同时乘以2r 然后等式两边同时乘以ab 所以我们在左手边进行这一操作 并且在右手边也进行这一操作 2r和ab 很明显这两个消掉了 这两个也消掉了 所以abc等于2r乘以2【ABC】 也就是4r乘以三角形的面积 现在我们进行到了最后一步 我们两边同时乘以4倍的面积 然后我们就解出来了 这两个消掉 那两个消掉 我们就得到了一个关系 半径 或者说外心的半径 这个三角形的外接圆的半径 等于三角形的三边乘积 除以4倍的三角形面积 我们这样得到了一个非常利索的结果