27000的因数之和

计算27000的所有因数之和 我能想到的最简单的方法 就是 首先对27000进行因式分解 这将会帮助我们整理思路 来看看27000的不同的因数 都应该长什么样 27000等于27乘以1000 等价于 3的3次方 乘以10的3次方 而10很明显就是2乘以5 所以这等价于2乘以5 整体的3次方 也就是2的3次方 乘以5的3次方 所以27000等于2的3次方 乘以3的3次方 乘以5的3次方 所以任何27000的因数 都将由这些 都将是一些数字的乘积 最多由3个2，3个3和3个5组成 所以让我们来看看所有不同的组合 来想一种快速的解题方法 让我们先假定因数中没有5 如果没有5 那么这个因数可以包含最多3个2 所以它可以有0个2 我将要用2的幂来表示 比如它有0个2 我就在这里写个1 如果它有2个2 它便能被4整除 如果它有3个2 便能被8整除 当我说3个2 我指的是2 x 2 x 2 现在我们对3进行同样的操作 哦等一下 我忘记了一个幂 如果她有0个2 我的意思是它只能被1整除 因为我们现在仅仅在考虑关于2的情况 如果它有1个2 那么它就只能被2整除 如果有2个2 它能被4整除 如果有3个2 也就是2x2x2 那么它能被8整除 让我们对3进行同样的操作 从3的角度上来看 如果我们没有3 那么你能被1整除 如果你有1个3 那么你能被3整除 如果你有2个3 也就是3x3 那么你能被9整除 如果你有3个3 那么你能被27整除 现在让我们来看看不同的组合 在我将要画出的这个表格中 我们假设因数先不能被5整除呢 或者说你只能被5的0次方整除 所以我们这里有的所有可能的数字是多少 我们有1x1 = 1 ; 1x3 = 3 ; 1x9 = 9 ; 1x27 = 27 这就是全部的数字 包含至多3个3 有0个到3个三在里面 并且没有2在里面 如果你算入一个2 那么你实质上是用2乘以这些数字 如果你又含入了一个2 那么你就是在把这行的数字都乘以2 在我做这件事之前 因为我想尽快解题 我当然可以写出了这些数字都具体是多少 我可以一个一个乘 但是我现在将要算的是它们的和 让我们计算这行的和 我们刚算的第一行 有1 + 3 + 9 + 27 3 + 27 = 30; 1 + 9 = 10, 等于40 现在 无论这些数字是多少 它们本质上都等于这些数字乘以2 所以它们的和将等于80 而这里的这些数字将等于 2乘以前一行 因为我们这里又是每个数字乘以2 所以总体的效果是乘以4 所以和应该是160 在这里 我们需要在前一行的基础上再乘以2 将会是320 另一种考虑的角度就是 无论这里的和是多少 这都将是第一行和的8倍 我当然可以 这是为了让你看到我到底为什么这么做 我当然可以写出这里的具体数字 这将会是8，24，72，和8x27 也就是160 + 56 = 216 但是我们并不想具体写下来 我们只被要求计算总和 如果你要考虑27000的所有 不能被5整除的因数 换句话说 它们只能被5的0次方整除 你可以这么说 我们现在算出了它们的总和 这将是这些行的总和 所以你用40 + 80 得到120 再加 160 加320 等于600 所以这种情况 这就是所有的2和3的组合之积 的总和 并不包含5在内 现在如果你用同一个2和3的组合 这些加在一起等于600 让我写在这里 这些加在一起等于600 不包含5 如果你重新做一遍刚才的这个过程 但是我们这次用5来乘 纳闷我们将会得到各种组合 包含这么多2 这么多3 和1个5 这个和会产生什么变化呢 我们只需要乘以5 用600乘以5 得到3000 这是只有1个5 在因数中的情况 1个5的情况就是这样 现在如果我想求2个5 我只需要总体再乘以5 所以再乘以5 我将得到15000 这里是2个5的情况 另一种考虑的角度就是 如果我用25乘以这里的所有数字 也就是5乘以5 这里的和将变成600 x 25 也就是15000 现在如果我有3个5 那么我只需要再乘一次5 5乘以15等于75 我得到了75000 现在我知道了各种情况的和 如果不包含5 所有因数的总和将是600 如果有1个5 我们得到3000 以此类推 现在如果我想求所有因数的总和 我只需要对这几个数字求和 让我往下拉一点 我有0 0 百位上是6 3 + 5 + 5等于13 对吧 对 就是13 进一 我将得到9 所以我将得到93600 27000的所有因数的总和是93600 希望你享受这个解题过程