在数学中涂鸦: 二进制树

假设你是我 枯坐在数学课上 你本该在学习 指数函数 但是你却无法 集中注意力到指数函数上 因为很不幸 你的数学课 可能并不那么引人入胜 你本该画下数轴 标记它们 这样你就能画这个y等于2的x方 你老师似乎认为 画数轴和标数轴 是数学的核心 你无聊之极 难免心想 为啥？ 于是 像任何一个长脑子的学生一样 你开始涂鸦 并且如果你跟我一样 你会自己跟自己玩涂鸦游戏 这里是一个游戏 你画一条线 当它和 稿纸上的一条蓝线交错时 一分为二 也许这条线就是传说中的九头蛇的脖子 每当其中一个“头”被蓝线砍掉 它就在断点长出两个新脑袋来 你想试试如果按照这个简单的规则 你是不是能画到本子的底端 如果能行 你就能画出 九头龙的所有脑袋 但是第一次尝试你可能并不会太成功 于是你又试了一次 这次开始多留白 不幸的是 这玩意长的太快了 尽管你的确走得比上次远了 如果你留下更多间距 或者你把铅笔削得更尖 你可以抵达页面的底部 哦 别忘了画数轴并标记它们 如果赫拉克里斯每次挥剑都将全部的脑袋砍掉 从而使你的数目翻番 好吧 你大概猜到我想说什么了 我并非想教你数学 只想说明 仅就涂鸦来看 你得画不少脑袋 祝你好运 赫尔克里士 但是可能简单地画二叉树 并不是一个能让你流连忘返的有趣游戏 所以你开始信笔涂鸦 或者并非如此信笔 或者你试图使得二叉树 看上去真像棵树一般 或者你看不清这棵树到底是什么东东 因为你的摄像机 跟你的数学课一样 模糊 没有焦点 总体而言就是糟糕 或者你略变规则 画一个树枝分叉的三叉树 每枝三叉 不幸的是，你的数学课有45分钟长 很快你就需要一个更有意思的涂鸦游戏 假设你回到之前的游戏 每条线在下一层分裂 只不过这一次 不要试图把所有的线段都挤到页面上 而是让它们相互碰撞 当它们碰撞时 火花四射 碰头的线段就此终结 或许你该把你的笔记本横过来 这样你就能确保 行间距是正确的 或者 如果你想回归到神话中 赫尔克里士可能不再灸烧 九头龙的脑袋来阻止它们复生 如果这些脑袋长得太近 它们就合并为一 因此 本该长脑袋的地方 现在鲜血淋漓 对于数学课而言 这也许过于血腥了 但是也许课程设计不是如此骇人 教学方法不是如此惨无人道 你就不必用这些故事和游戏来 自娱自乐了 说到这个涂鸦游戏 这儿是有意思的地方 看上去一个简单的分裂合并规则 引出了谢尔宾斯基三角形 这是一个非常酷的分形图形 但是我们不是要学分形 细胞自动机或者谢尔宾斯基 而是展示简单的涂鸦游戏 可以产生如此酷炫美妙的数学结果 以至于它们都小有名气了 至少对于像我这样的人而言是有名的 如果你擅长发明涂鸦游戏 你可能真的 能在你的数学课上真的搞点数学 或许 你并不在意精度 所以 你又试了一次 只不过你不再关注间距 当你犯了错 在不该长脑袋的地方长了 你就听之任之 现在你引入随机误差 你想知道 这将如何影响最终的图形 它依然看上去像个不赖的涂鸦 跟上作有不少类似的地方 尽管它的结构比较松散 说到结构 或许你如此无聊 而你的数学课似乎漫漫无绝期 你开始数每层的脑袋数 试图找到点规律 或许你还没忘了2的幂 无论怎样 我希望我给你提供了 一些自娱自乐的材料 祝你的数学课好运