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主要内容

涂鸦数学:螺旋,斐波那契和作为一种植物[3/3]

第一部分: http://youtu.be/ahXIMUkSXX0 Part 2: http://youtu.be/lOIP_Z_-0Hs 怎么找到Lucas Angle: http://youtu.be/RRNQAaTVa_A 参考: 我能找到的好的文章: http://www.sciencenews.org/view/generic/id/8479/title/Math_Trek__The_Mathematical_Lives_of_Plants 关于数字的书: http://books.google.com/books?id=0--3rcO7dMYC&pg=PA113&lpg=PA113&dq=conway+phyllotaxis&source=bl&ots=-bTLzWkMtB&sig=XnbL9nRYQoWOCbvWdZPAlVa3Co0&hl=en&sa=X&ei=2afqTui9L6OUiAKapaC7BA&ved=0CCkQ6AEwAQ#v=onepage&q&f=false Douady和Couder关于磁滴的论文 : http://www.math.ntnu.no/~jarlet/Douady96.pdf 在phyllotaxis上一个非常清楚的页面: http://www.math.smith.edu/phyllo/. Vi Hart 创建

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假设你是我 你正在上数学课 你正努力想忽略你的老师 而开始画斐波那契螺旋的同时 又不想被窗外的美景影响 而你只是对那些 老师无意间谈论的话题感兴趣 于是你开始画许多方块形状 你把他们给涂了 但你涂了太多 然后老师又回到正题上来 你的时光结束了 噢!还不如从这里开始画螺旋图形呢 然后画了一个3x3的正方形 之后是4x4的 然后又是7x7的 11x11的 这行得通 你得到了一个方形的螺旋 于是你写下数字 1,3,4,7,11,18 有点斐波那契数列的味道 因为1+3是4 3+4是7 等等 又或许你可以从2+1开始 或-1+2 哪种都是一个很好的数列 它和斐波那契数列 也有一种相似之处 就是两个相邻的数字之比 同样也趋近于"φ" 好吧 许多植物都含有斐波那契数量 的螺旋 但为了理解它们是怎么做到的 我们可以通过观察特例来学习 这颗松果这里有7个螺旋 那里有11个 这正向我们展示卢卡斯数字 由于斐波那契数和卢卡斯数 是相互联系的 这就能解释的通了 一个理论认为含有斐波那契数字的植物 通过不停的生长出新部分 这些部分是在一个圆的1/φ处 多大的角度会产生出卢卡斯数字呢? 在这颗送上 每一块小松果瓣 都和前一个大约有100度的夹角 我们将会须要一个卢卡斯量角器 要得的一个90度的量角器很容易 如果我把它三等分之后再三等分 这就是90度的九等分 也就是10度 现在有了 你就可以用它来得到螺旋图案了 就像你看到的含有卢卡斯数字的植物一样 这样长出卢卡斯螺旋就很容易了 前提是如果植物有个内在量角器的话 问题是 100和137.5还是相差挺多的 如果植物以某种方式度量角度的话 你会认为那些与众不同的家伙 会表现出一个大约和1/φ相近的角度 而不是直接跳到100 或许我相信不同的物种 会有不同的角度 但一个树上的两颗松果? 一颗花椰菜上的两个螺旋? 而且这还不是罕见的特例 还有许多植物根本不按照螺旋生长 像这个家伙 叶子生长在相反方向 还有些植物的叶子 彼此交替180度 这和无论是φ还是卢卡斯角度都差很远 你可以说这些都不算数 因为它们有着本质上不同的生长规律 并且它们属于不同植物种类目录下的 但如果这些都是因为一个 简单的原因而产生会不会更好呢? 这些变异是很好的线索 或许这种植物有这样的角度 斐波那契数字作为一种结果 由于其他的过程而产生的结果 这不仅仅 是因为数学上的优化阳光照射量 如果太阳正好在头顶上 其实这个情况从来不会发生 如果植物完全地面对太阳 其实它们绝不会这样 那么它们是怎么做的呢? 当然你可以通过去观察它们 就像搞科学研究一样 如果你放大一株植物的枝叶 生长的那部分 这个部分叫做分生组织 就是新的植株形成的组织 最大的植物枝叶 是最先形成的分生组织 而围绕着中心小的那些则是新生的 随着植物的生长 他们被推离分生组织距也越来越远 但他们都是从那里来的 重要的是 科学观测会发现 植物枝叶远离时 不仅是远离分生组织 并且远离彼此 一些物理学家想尝试以下这个实验 他们滴几滴磁性液体 在一碟油上 磁液滴间相互排斥 就像植物枝叶做的一样 被碟子边缘吸引 就像植物枝叶从中心远离一样 刚开始的几滴向着 彼此相反的方向背离 但第三滴被之前的两滴都排斥 但被更新和更近的液滴推离的更远 它和后面一滴形成一个φ角度 和前面的液滴相联系 液滴最后形成了斐波那契数的螺旋 所以植物想获得斐波那契数的螺旋 需要做的所有努力 就是懂得植物枝叶是怎样彼此相互背离的 我们并不知道所有的细节 但这些是我们所知道的 有荷尔蒙来告诉植物枝叶去生长 一段植物枝叶会用尽它周围的荷尔蒙 但远处还有更多的(荷尔蒙) 所以它就会往那个方向生长 这就使植物枝叶离开了分生组织 在枝叶形成之后 同时分生组织一直在生长出新的枝叶 他们将会生长在不是很拥挤地方 因为那里有最多的荷尔蒙生长素 这使它们越长越远 去到由别的向外生长的枝叶留下的地方 一旦所有的东西都固定成一个模式 就很难再被打破 因为对于这节植物枝叶已经不可能 离开了 除非有多余的空间 并且随着植物荷尔蒙痕迹的诱导离开它的位置 但如果有的话 所有的更近的植物枝叶会用尽荷尔蒙 去生长填满剩余空间 数学家和程序员 都做了各自的模拟 并且发现了同样的道理 把新事物融入最多的空间 的最好方法就是 让它们以那样的角度出现 不是因为植物了解那个角度 而是因为那里就是 最多荷尔蒙堆积的地方 一旦开始便进入了自我延续的循环 这朵花的枝叶在做的 就是在留给它们最多空间的地方生长 其他的就自然地根据数学规律发生了 这并不奇怪 所有的植物 都含有斐波那契数字 如果它们没有的话那才奇怪 它一定是这样的 关于那个理论最美好的一件事 是它解释了为什么卢卡斯松果会出现 如果有些事在一开始就发生半点差别 分生组织就会形成另一种不同但稳定的的模式 有最多空间的地方生长新的枝叶 在100度远的另一边 它甚至解释了交替叶子的模式 如果叶子之间相距的足够远 联系到它们是多么热爱荷尔蒙生长素 因为它们缺少这些 彼此之间的排斥力 所有这些叶子在乎的就是 尽可能的和它头顶上方和下方的叶子远些 也就是180度是个最佳选择 当叶子成对的生长 彼此背对背时 那个有最多空间 留给每片叶子的答案 就是与它下方的距离90度 如果你更进一步观察 你会发现即使再不寻常的模式 不管这个什么东西的颈部的斑点 都是以14和22的螺旋形式出现 有点像卢卡斯数的两倍 这颗松果有6个和10个 是斐波那契数的两倍 这个菠萝为什么会和松果相似 雏菊和球芽甘蓝 有什么相同之处呢? 不是他们所含有的数字 而是它们是如何生长的 这个模式不仅因为实用 或因为美观 它更难以抗拒 这就是为什么科学和数学依然很趣的原因 你发现了那些看似不太可能的事实 然后开始研究 为什么这对它们来说是不可能的 当我们对这些事物的理解到了这个地步 这就需要联合数学家 物理学家 植物学家还有生化学家的努力 我们自然会学到很多 但还有更多需要我们去发现 或许你应该继续在数学课上涂鸦 你可以帮助一起解决