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主要内容

多变量微积分

Course: 多变量微积分 > 单位 3

课程 3: 优化多元函数 (文章)
数学
多变量微积分
多变量导数的应用
优化多元函数 (文章)
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示例：二阶偏导数测试

Google课堂
使用二阶偏导测试的练习

背景知识

准备挑战

我为你准备了一个挑战.
在本文中会有在多变量函数中寻找最大值和最小值的两个例子。 在现代应用中， 解决这类问题所涉及的大多数步骤将由计算机执行。 然而，检测自己是否真正理解如何运用二阶偏导数测试的唯一方法是自己将全部步骤过一遍。
毕竟有一天你可能需要通过编程来告诉电脑如何做到这一点，这需要你对所有步骤有一定的深入了解。此外，这也是一个使自己能够更流畅地使用偏导数的好方法。
挑战: 当你浏览该文章的时候，尝试着输入每个步骤的答案来测试自己的理解。

二阶偏导数测试的解法(参考)

首先找到两个偏导数f都为0的点left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis。
fx(x0,y0)=0fy(x0,y0)=0\begin{aligned} f_{x}(x_0, y_0) = 0 \\\\ f_{y}(x_0, y_0) = 0 \end{aligned}
二阶偏导数测试告诉我们如何确定点left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis为局部最大值，局部最小值还是鞍点。从计算该值开始:
H, equals, start color #0c7f99, f, start subscript, x, x, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #0c7f99, start color #bc2612, f, start subscript, y, y, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #bc2612, minus, left parenthesis, start color #0d923f, f, start subscript, x, y, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #0d923f, right parenthesis, squared
start color #0c7f99, f, start subscript, x, x, end subscript, end color #0c7f99, start color #bc2612, f, start subscript, y, y, end subscript, end color #bc2612 和 start color #0d923f, f, start subscript, x, y, end subscript, end color #0d923f均为f的二阶偏导数。
如果H, is less than, 0，则f在点left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis不为最大值或最小值而是一个鞍点。
如果H, is greater than, 0，则f肯定在点left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis有一个最大值或最小值，我们必须查看start color #0c7f99, f, start subscript, x, x, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #0c7f99的符号来确定是最大值还是最小值。
  • 如果 start color #0c7f99, f, start subscript, x, x, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #0c7f99, is greater than, 0 则 f 具有局部最小值。
  • 如果 start color #0c7f99, f, start subscript, x, x, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #0c7f99, is less than, 0 则 f 具有局部最大值。
如果H, equals, 0, 单独一个二阶导数不能告诉我们f是否有局部最大值或局部最小值。

例 1: 全部的驻点!

问题: 找到函数的所有驻点(也被称为临界点)
x4−4x2+y2\begin{aligned} x^4 - 4x^2 + y^2 \end{aligned}
并确定每个驻点给出的局部最大值、局部最小值还是鞍点。

步骤 1:找到所有驻点

驻点是两个偏导数均为0的点left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis。首先，计算各个偏导数
f, start subscript, x, end subscript, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals
f, start subscript, y, end subscript, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals

接下来，找到所有两个偏导数为0的点left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis，也就是说，解方程组
fx(x0,y0)=0fy(x0,y0)=0\begin{aligned} f_x(x_0, y_0) &= 0\\ \\ f_y(x_0, y_0) &= 0 \end{aligned}
下列哪一对能满足该方程组？
选择所有正确的答案:

步骤 2; 应用二阶导数测试

首先，找到f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, start superscript, 4, end superscript, minus, 4, x, squared, plus, y, squared的所有三个二阶偏导数
start color #0c7f99, f, start subscript, x, x, end subscript, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, end color #0c7f99, equals
start color #bc2612, f, start subscript, y, y, end subscript, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, end color #bc2612, equals
start color #0d923f, f, start subscript, x, y, end subscript, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, end color #0d923f, equals

我们所关心的二阶偏导数测试的表达式是
start color #0c7f99, f, start subscript, x, x, end subscript, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, end color #0c7f99, start color #bc2612, f, start subscript, y, y, end subscript, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, end color #bc2612, minus, left parenthesis, start color #0d923f, f, start subscript, x, y, end subscript, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, end color #0d923f, right parenthesis, squared
如果我们应用刚刚发现的二阶导数，这个表达式变成了什么(作为x和y的函数)?
start color #0c7f99, f, start subscript, x, x, end subscript, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, end color #0c7f99, start color #bc2612, f, start subscript, y, y, end subscript, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, end color #bc2612, minus, left parenthesis, start color #0d923f, f, start subscript, x, y, end subscript, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, end color #0d923f, right parenthesis, squared, equals

为了应用二阶导数测试，我们向表达式里代入每个驻点，看看它是正的还是负的。
  • 驻点 1:
    在 left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis，表达式变为
    24x2−16=24(0)2−16=−16\begin{aligned} \quad 24x^2 - 16 = 24(0)^2 - 16 = -16 \end{aligned}
这是负数，所以根据二阶偏导数测试，点left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis为
选出正确答案：

  • 驻点 2: 在left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, equals, left parenthesis, square root of, 2, end square root, comma, 0, right parenthesis, 表达式变为
24x2−16=24(2)2−16=48−16=32\begin{aligned} 24x^2 - 16 &= 24(\sqrt{2})^2 - 16 \\\\ & = 48 - 16 \\\\ &= 32 \end{aligned}
这是正数。而且，
fxx(2,0)=12(2)2−8=24−8=16\begin{aligned} f_{xx}(\sqrt{2}, 0) &= 12(\sqrt{2})^2 - 8 \\\\ &= 24 - 8 \\\\ &= 16 \end{aligned}
所以，点left parenthesis, square root of, 2, end square root, comma, 0, right parenthesis一定是
选出正确答案：

  • 驻点 3: 我们可以代入点left parenthesis, minus, square root of, 2, end square root, comma, 0, right parenthesis，但我们也可以发现函数f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, start superscript, 4, end superscript, minus, 4, x, squared, plus, y, squared是对称的，所以我们只需在表达式里用minus, x代替x:
    left parenthesis, minus, x, right parenthesis, start superscript, 4, end superscript, minus, 4, left parenthesis, minus, x, right parenthesis, squared, plus, y, squared, equals, x, start superscript, 4, end superscript, minus, 4, x, squared, plus, y, squared
所以 点left parenthesis, minus, square root of, 2, end square root, comma, 0, right parenthesis会和点left parenthesis, square root of, 2, end square root, comma, 0, right parenthesis表现相同
这是一段f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis旋转的视频，我们可以清楚地看到两个局部最小值且原点为鞍点。
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例 2: 深入探究

在下有句话不知当讲不当讲: 优化问题的计算可以搞的很长，非常长。
问题: 找到函数的所有驻点(也被称为临界点)
f(x,y)=x2y−y2x−x2−y2\begin{aligned} f(x, y) = x^2 y - y^2 x - x^2 - y^2 \end{aligned}
并确定每个驻点给出的局部最大值、局部最小值还是鞍点。

步骤 1:找到所有驻点

我们需要找到两个偏导数都为零的地方，所以先要找f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, squared, y, minus, y, squared, x, minus, x, squared, minus, y, squared的两个偏导数
f, start subscript, x, end subscript, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals
f, start subscript, y, end subscript, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals

所以我们必须解方程组
2xy−y2−2x=0x2−2xy−2y=0\begin{aligned} 2xy - y^2 - 2x &= 0 \\\\ x^2 - 2xy - 2y &= 0 \end{aligned}
在现实世界中，当你遇到一个方程组的时候，你几乎肯定用电脑来解它。不过为了更多的练习且理解优化问题并不总是那么简单，让我们来浪一把自己解决。
一般来说，你可能会像这样做：
  • 解一个等式，用x来表示y。
  • 将其代入另一个表达式并得到一个只包含x的等式。
  • 解x。
  • 将x的解代入两个等式中并解y。
  • 检查哪一对left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis真正是表达式的解。
这过程会乱的一塌糊涂，因为你可能用二次公式用x做常数解y并且要把那烦人的表达式代入到其他地方去。否则，你可能发现自己在解一个更恶心的4次函数。
在这个特殊的方程组中，等式感觉起来非常对称，这表明加减它们可以让事情变得更简单。事实证明，如果我们把它们加起来能得到
2xy−y2−2x=0+x2−2xy−2y=0x2−y2−2(x+y)=0(x+y)(x−y)−2(x+y)=0(x+y)(x−y−2)=0\begin{aligned} \quad 2xy - y^2 - 2x &= 0 \\\\ + \quad x^2 - 2xy - 2y &= 0 \\\\ \hline \\\\ x^2 - y^2 - 2(x+y) &= 0 \\\\ (x+y)(x-y) - 2(x+y) &= 0 \\\\ (x+y)(x - y - 2) &= 0 \end{aligned}
这个等式对x和y之间的关系意味着什么? (将每个答案表示为一个带x和y的等式)
Either
或

每种可能性让我们用y来表示x，而这个使我们写其中一个只有y的等式。
例如，如果你把x, equals, minus, y代入第一个表达式2, x, y, minus, y, squared, minus, 2, x，你可以得到一个只有y的二次公式。这个表达式的根是什么?
和

因为这源于默认x, equals, minus, y，对应的x值为x, equals, minus, 0和 x, equals, minus, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction。这给了我们我们前两个解:
(x,y)=(0,0)(x,y)=(−23,23)\begin{aligned} &(x, y) = \boxed{(0, 0)} \\\\ &(x, y) = \boxed{\left(-\dfrac{2}{3}, \dfrac{2}{3}\right)} \end{aligned}
或者，如果我们考虑x, equals, y, plus, 2。当我们将其代入2, x, y, minus, y, squared, minus, 2, x中，我们能得到一个只有y的表达式。这个方程的根是什么?
和

因为我们通过默认x, equals, y, plus, 2找到了这些解，对应的x值为
x=2−1+5=1+5x=2−1−5=1−5\begin{aligned} x=2-1+\sqrt{5} = 1+\sqrt{5} \\\\ x = 2-1-\sqrt{5} = 1-\sqrt{5} \end{aligned}
这给了我们另外两个解:
(x,y)=(1+5,−1+5)(x,y)=(1−5,−1−5)\begin{aligned} (x, y) = \boxed{(1 + \sqrt{5}, -1 + \sqrt{5})} \\\\ (x, y) = \boxed{(1 - \sqrt{5}, -1-\sqrt{5})} \end{aligned}
我们现在已经用完了所有的可能性因为我们最初发现要么 x, equals, minus, y 或 x, equals, y, plus, 2，且我们完全地解决了所有方程。

步骤 2; 应用二阶导数测试

天哪，一个例子就已经这么多计算了，但我们居然还没有解完一半! 现在我们必须应用二阶导数测试。首先，找到我们方程的所有二阶导数
f(x,y)=x2y−y2x−x2−y2\begin{aligned} f(x, y) = x^2 y - y^2 x - x^2 - y^2 \end{aligned}
start color #0c7f99, f, start subscript, x, x, end subscript, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, end color #0c7f99
start color #bc2612, f, start subscript, y, y, end subscript, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, end color #bc2612
start color #0d923f, f, start subscript, x, y, end subscript, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, end color #0d923f

根据二阶导数测试, 为了分析我们的每个驻点是局部最大值还是最小值, 我们将它们代入表达式中
fxx(x,y)fyy(x,y)−(fxy(x,y))2\begin{aligned} \blueE{f_{xx}(x, y)} \redE{f_{yy}(x, y)} - (\greenE{f_{xy}(x, y)})^2 \end{aligned}
当我们应用你刚刚发现的二阶导数时，这个表达式会变成什么？

由于我们只关心这个表达式是正的还是负的, 我们可以把所有东西都除以4来让事情变得简单一些。
left parenthesis, y, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, minus, x, minus, 1, right parenthesis, minus, left parenthesis, x, minus, y, right parenthesis, squared, left arrow, start color gray, start text, 关, 键, 表, 达, 式, end text, end color gray
现在我们看到对于我们的每一个驻点这个表达式的符号是什么,。
  • 驻点 left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis：
在点left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis，上方的表达式通过运算变成
。

我们从中得出结论，left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis是
选出正确答案：
现在，
选出正确答案：

  • 驻点 left parenthesis, minus, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, comma, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, right parenthesis：
在点left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, left parenthesis, minus, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, comma, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, right parenthesis，上方的表达式通过运算变成
。

从这个我们得出的结论，left parenthesis, minus, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, comma, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, right parenthesis是
选出正确答案：
现在，
选出正确答案：

  • 驻点 left parenthesis, 1, plus, square root of, 5, end square root, comma, minus, 1, plus, square root of, 5, end square root, right parenthesis：
在点left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, left parenthesis, 1, plus, square root of, 5, end square root, comma, minus, 1, plus, square root of, 5, end square root, right parenthesis，上方的表达式通过运算变成
。

从这个我们得出的结论，left parenthesis, 1, plus, square root of, 5, end square root, comma, minus, 1, plus, square root of, 5, end square root, right parenthesis是
选出正确答案：
现在，
选出正确答案：

  • 驻点 left parenthesis, 1, minus, square root of, 5, end square root, comma, minus, 1, minus, square root of, 5, end square root, right parenthesis:
这里的运算与前面的情况几乎完全相同。
这是f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, squared, y, minus, y, squared, x, minus, x, squared, minus, y, squared图像旋转的短片，你可以看到三个鞍点和一个在原点的局部最大值。
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老铁辛苦了

这些都是炒鸡长的问题，如果你真正完全的理解了它们，给自己一些衷心的祝贺！(翻译不好请见谅我还没学到这些qwq)

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