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主要内容

二阶偏导数测试

一个对二阶偏导数的简短回顾,  混合偏导数的对称, 和高阶偏导数.

背景:

概括二阶导数

思考一个有着二维输入值的函数,类似
f(x,y)=x2y3.
它的偏导数 fxfy 在同一二位输入值 (x,y) 上推导:
fx=x(x2y3)=2xy3fy=y(x2y3)=3x2y2
所以,我们也可以求偏导数的偏导数。
这些被称为二次偏导数,在单变量微积分中与一般二次导数表达方式 d2fdx2 类似。
x(fx)=2fx2x(fy)=2fxyy(fx)=2fyxy(fy)=2fy2
使用 fx 来表达偏导数(在这里是关于x),你可能也会看到写成这样的二次偏导数:
(fx)x=fxx(fy)x=fyx(fx)y=fxy(fy)y=fyy
牵涉到多个不同的输入变量的二次偏导数,例如 fyx and fxy, 叫做”混合偏导数“。

例 1: 树

问题:求出f(x,y)=sin(x)y2 的所有二次偏导数。
:首先,求出两个偏导数:
x(sin(x)y2)=cos(x)y2y(sin(x)y2)=2sin(x)y
然后将两个偏导数各自写出来:
x(x(sin(x)y2))=x(cos(x)y2)=sin(x)y2x(y(sin(x)y2))=x(2sin(x)y)=2cos(x)yy(x(sin(x)y2))=y(cos(x)y2)=2cos(x)yy(y(sin(x)y2))=y(2sin(x)y)=2sin(x)
sin(x)y2xycos(x)y22sin(x)yxyxysin(x)y22cos(x)y2cos(x)y混合偏导数相等!2sin(x)

二阶导数的对称

注意,在以上的例题中,两个混合偏导数 2fxy2fyx 是一样的。这不是巧合;这几乎在你遇到的所有练习题里都会出现。例如,看看在一般多项式 xnyk 上会发生什么:
x(y(xnyk))=x(kxnyk1)=nkxn1yk1y(x(xnyk))=y(nxn1yk)=nkxn1yk1
通常来说,二次导数的对称不是一直一样的。根据施瓦兹定理或克莱罗定理,如果二次偏导数在一个点周围是连续的,二次导数的对称性会一直在这个点上。为了真正了解这个精华,我们需要一些实际分析。
你应该时刻记住有例外的存在,但是二次导数的对称性对于所有你将看到的”一般“函数都有用。

示例 2:更高阶的导数

为什么在二次偏导数就停下了?我们应该求五个关于不同输入值变量的偏导数。
问题: 如果 f(x,y,z)=sin(xy)ex+z, fzyzyx 是多少?
: fzyzyx 的表达方式是 ((((fz)y)z)y)x 的简写,所以我们关于 z 求导,然后关于 y, 然后 z, 然后 y, 然后 x. 简洁的说,我们从左到右读。
值得一提的是在其他表达方式中有不同的阶。
xyzyfz=5fx5thy4thz3rdy2ndz1st
所以分母从左到右的顺序决定了求导的阶。
无论如何,回到我们的问题。这是你应该挽起袖子前进的任务之一,但是为了方便,让我们用有颜色的 x,y,z 来追踪它们在哪里。
f(x,y,z)=sin(xy)ex+zfz(x,y,z)=fz(sin(xy)ex+z)=sin(xy)ex+zfzy(x,y,z)=fy(sin(xy)ex+z)=cos(xy)xex+zfzyz(x,y,z)=fz(cos(xy)xex+z)=cos(xy)xex+zfzyzy(x,y,z)=fy(cos(xy)xex+z)=sin(xy)x2ex+zfzyzyx(x,y,z)=fx(sin(xy)x2ex+z)=cos(xy)yx(sin(xy))x2ex+z=sin(xy)2xxx2ex+z=sin(xy)x2ex+zxex+z
最后一步是使用延申乘积法则。
=ddx(f(x)g(x)h(x))=f(x)g(x)h(x)+f(x)g(x)h(x)+f(x)g(x)h(x)
天呐!这真是一个冗长乏味的例题。但是如果你能坚持跟下来,求多个偏导数对你来说将不成问题。它是比任何别的更需要记忆的东西之一。

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