主要内容
二阶偏导数测试
一个对二阶偏导数的简短回顾, 混合偏导数的对称, 和高阶偏导数.
背景:
概括二阶导数
思考一个有着二维输入值的函数,类似
它的偏导数 和 在同一二位输入值 上推导:
所以,我们也可以求偏导数的偏导数。
这些被称为二次偏导数,在单变量微积分中与一般二次导数表达方式 类似。
使用 来表达偏导数(在这里是关于 ),你可能也会看到写成这样的二次偏导数:
牵涉到多个不同的输入变量的二次偏导数,例如 and , 叫做”混合偏导数“。
例 1: 树
问题:求出 的所有二次偏导数。
解:首先,求出两个偏导数:
然后将两个偏导数各自写出来:
二阶导数的对称
注意,在以上的例题中,两个混合偏导数 和 是一样的。这不是巧合;这几乎在你遇到的所有练习题里都会出现。例如,看看在一般多项式 上会发生什么:
通常来说,二次导数的对称不是一直一样的。根据施瓦兹定理或克莱罗定理,如果二次偏导数在一个点周围是连续的,二次导数的对称性会一直在这个点上。为了真正了解这个精华,我们需要一些实际分析。
你应该时刻记住有例外的存在,但是二次导数的对称性对于所有你将看到的”一般“函数都有用。
示例 2:更高阶的导数
为什么在二次偏导数就停下了?我们应该求五个关于不同输入值变量的偏导数。
问题: 如果 , 是多少?
解: 的表达方式是 的简写,所以我们关于 求导,然后关于 , 然后 , 然后 , 然后 . 简洁的说,我们从左到右读。
值得一提的是在其他表达方式中有不同的阶。
所以分母从左到右的顺序决定了求导的阶。
无论如何,回到我们的问题。这是你应该挽起袖子前进的任务之一,但是为了方便,让我们用有颜色的 来追踪它们在哪里。
最后一步是使用延申乘积法则。
天呐!这真是一个冗长乏味的例题。但是如果你能坚持跟下来,求多个偏导数对你来说将不成问题。它是比任何别的更需要记忆的东西之一。