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主要内容

多变量微积分

课程: 多变量微积分 > 单元 3

课程 2: 二次近似
数学
多变量微积分
多变量导数的应用
二次近似
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海森矩阵

Google课堂
海森矩阵是一个组织一个函数的所有第二偏导数的矩阵。

背景：

海森矩阵

多变量函数f, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, comma, dots, right parenthesis的”海森矩阵“，不同的作者会写为start bold text, H, end bold text, left parenthesis, f, right parenthesis,，start bold text, H, end bold text, f，或者start bold text, H, end bold text, start subscript, f, end subscript ，把所有二阶偏导数组织到一个矩阵中:
Hf=[∂2f∂x2∂2f∂x∂y∂2f∂x∂z⋯∂2f∂y∂x∂2f∂y2∂2f∂y∂z⋯∂2f∂z∂x∂2f∂z∂y∂2f∂z2⋯⋮⋮⋮⋱]\textbf{H}f = \left[ \begin{array}{ccc} \dfrac{\partial^2 f}{\partial \blueD{x}^2} & \dfrac{\partial^2 f}{\partial \blueD{x} \partial \redD{y}} & \dfrac{\partial^2 f}{\partial \blueD{x} \partial \greenE{z}} & \cdots \\\\ \dfrac{\partial^2 f}{\partial \redD{y} \partial \blueD{x}} & \dfrac{\partial^2 f}{\partial \redD{y}^2} & \dfrac{\partial^2 f}{\partial \redD{y} \partial \greenE{z}} & \cdots \\\\ \dfrac{\partial^2 f}{\partial \greenE{z} \partial \blueD{x}} & \dfrac{\partial^2 f}{\partial \greenE{z} \partial \redD{y}} & \dfrac{\partial^2 f}{\partial \greenE{z}^2} & \cdots \\\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{array} \right]
所以, 这里需要注意两件事:
  • 这只对标量值函数有意义。
  • 此对象start bold text, H, end bold text, f不是普通矩阵;它是一个矩阵与 函数 作为元素。 换句话说，它的目的是在某个点计算 left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, comma, dots, right parenthesis。
    Hf(x0,y0,… )=[∂2f∂x2(x0,y0,… )∂2f∂x∂y(x0,y0,… )⋯∂2f∂y∂x(x0,y0,… )∂2f∂y2(x0,y0,… )⋯⋮⋮⋱]\textbf{H}f(x_0, y_0, \dots) = \left[ \begin{array}{ccc} \dfrac{\partial^2 f}{\partial \blueD{x}^2}(x_0, y_0, \dots) & \dfrac{\partial^2 f}{\partial \blueD{x} \partial \redD{y}}(x_0, y_0, \dots) & \cdots \\\\ \dfrac{\partial^2 f}{\partial \redD{y} \partial \blueD{x}}(x_0, y_0, \dots) & \dfrac{\partial^2 f}{\partial \redD{y}^2}(x_0, y_0, \dots) & \cdots \\\\ \vdots & \vdots & \ddots \end{array} \right]
因此，你也许会将这个对象start bold text, H, end bold text, f作为”矩阵“函数调用，是吗？
更重要的是， "海森" 一词有时也指这个矩阵的行列式 而不是矩阵本身。

示例: 计算海森

问题: 计算f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, cubed, minus, 2, x, y, minus, y, start superscript, 6, end superscript在点left parenthesis, 1, comma, 2, right parenthesis的海森:
解析: 最终我们需要 f的所有二阶偏导数, 因此, 让我们首先计算这两个偏导数:
fx(x,y)=∂∂x(x3−2xy−y6)=3x2−2yfy(x,y)=∂∂y(x3−2xy−y6)=−2x−6y5\begin{aligned} \quad f_x(x, y) &= \dfrac{\partial}{\partial x} (x^3 - 2xy - y^6) = 3x^2 - 2y \\\\ f_y(x, y) &= \dfrac{\partial}{\partial y} (x^3 - 2xy - y^6) = -2x - 6y^5 \end{aligned}
有了这些，我们计算所有四个二阶偏导数:
fxx(x,y)=∂∂x(3x2−2y)=6xfxy(x,y)=∂∂y(3x2−2y)=−2fyx(x,y)=∂∂x(−2x−6y5)=−2fyy(x,y)=∂∂y(−2x−6y5)=−30y4\begin{aligned} f_{xx}(x, y) &= \dfrac{\partial}{\partial x} (3x^2 - 2y) = 6x \\\\ f_{xy}(x, y) &= \dfrac{\partial}{\partial y} (3x^2 - 2y) = -2 \\\\ f_{yx}(x, y) &= \dfrac{\partial}{\partial x} (-2x - 6y^5) = -2 \\\\ f_{yy}(x, y) &= \dfrac{\partial}{\partial y} (-2x - 6y^5) = -30y^4 \end{aligned}
在这种情况下，海森矩阵是一个 2, times, 2 矩阵，这些函数作为每一个元素:
Hf(x,y)=[fxx(x,y)fyx(x,y)fxy(x,y)fyy(x,y)]=[6x−2−2−30y4]\textbf{H}f(x, y) = \left[ \begin{array}{cc} f_{xx}(x, y) & f_{yx}(x, y) \\ f_{xy}(x, y) & f_{yy}(x, y) \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} 6x & -2 \\ -2 & -30y^4 \end{array} \right]
我们被要求在点 left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, left parenthesis, 1, comma, 2, right parenthesis 处对此进行计算，因此我们带入这些值:
Hf(1,2)=[6(1)−2−2−30(2)4]=[6−2−2−480]\textbf{H}f(1, 2) = \left[ \begin{array}{cc} 6(1) & -2 \\ -2 & -30(2)^4 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} 6 & -2 \\ -2 & -480 \end{array} \right]
现在，问题是有歧义的，因为 "海森" 可以指这个矩阵，也可以指它的行列式。您需要的内容取决于上下文。 例如, 在优化多变量函数时, 有一种叫做 "二阶导数测试" 的东西, 它使用海森行列式。 当海森用于近似函数时, 您只需使用矩阵本身。
如果我们想要的是行列式，下面是我们得到的：
det([6−2−2−480])=6(−480)−(−2)(−2)=−2884\text{det}\left( \left[ \begin{array}{cc} 6 & -2 \\ -2 & -480 \end{array} \right] \right) = 6(-480) - (-2)(-2) = -2884

使用

包含多变量函数的所有二阶导数信息，海森矩阵通常起到类似于单变量微积分中的普通二阶导数的作用。最值得注意的是，它出现在这两种情况中：

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