二维散度定理

现在，我们已经对 怎样在一条曲线的任一点 构造一个单位法矢量有了一些了解， 这是我们在上一个视频中学到的。 我想开始探讨一个有趣的表达式。 这个表达式是一个围绕一个闭环路径的线积分， 我们要 正向即反时针方向 对矢量场和在 曲线上任何一点 ds 的单位法向量的点乘进行积分。 我用洋红色来写 ds， 首先，我们要先理解这些描述的概念。 让我先对它做一些操作， 看我们能不能得到些有意思的结论。 我们实际上可以这样处理一下， 我们会用到格林定理。 我们会得到 散度定理的二维模式， 这听起来非常复杂， 但是希望我们能对它有一点直观认识， 从而知道它实际上是一个常理。 首先，我们来考虑一下。 我在这里画一个坐标图。 我用白色来画。 这是我们的 y 轴， 这是我们的 x 轴， 我画一下我们的曲线。 我们的曲线可以是这样的， 我用蓝色来画。 我的曲线轮廓看起来是这样的， 它是正向， 也就是逆时针方向。 现在我们有我们的矢量场， 提醒一下，我们已经看到它很多次了， 我的矢量场 把一个矢量与 x-y 平面上的任何一个点关联起来， 它可以由 x 和 y 的函数来定义。 我叫它 P， x 和 y 的函数乘以 i 单位向量， 这说明对任何 x 和 y 点， 这个矢量的 i 分量是什么， 然后，对任何 x 和 y ，j 分量是什么？ 我们用什么来乘 j 分量， 或者说垂直分量， x 和 y 的函数乘以 i， 加上另一个 x 和 y 的标量函数乘以 j ， 这样，如果你给我任何一点， 就存在一个与它关联的矢量。 在任何一点，存在一个与之关联的矢量， 这取决于我们怎样定义这个函数。 但是这个表达式说明， 我们是在进行线积分。 我们特别关注在曲线上的点， 就是沿着这个轮廓。 在我们求和之前，我们来考虑一下 实际上这一段告诉我们什么， 就是所有这些无限小的片段。 我们只是在求 f 和 n 的点乘， 我们来看曲线上的一点， 这个曲线上的一点，或许就是这里这一点， 和这一点关联，有一个矢量， 这就是矢量场给出的， f 可能看起来是这样的， 这就是在这一点的矢量， 然后我们把它， 和那一点的单位法向量点乘， 单位法向量可能是这样的， 在这一点，它就是 n 尖， 这是这一点的矢量场， 当你求点积时，你得到一个标量。 如果你还记得的话，你会得到一个数字， 我们有好几个视频 做过详细的介绍， 它告诉我们这两个矢量在相同的方向有多少。 本质上说，如果它们完全垂直， 你就得到 0， 如果它们完全在同一方向， 你就要把它们的幅值相乘。 因为这里是一个单位法向量， 你得到的实际的结果 就是矢量场 f 在法向的幅值， 我们这样来考虑， 我们考虑 它在法向的分量。 它看起来可能是这样的， 这是沿切线方向的分量， 这个表达式给出 这个矢量的幅值。 我把它写下来， 这是 f 在法线方向 或者说与单位法矢量相同方向的分量。 法线方向。 然后，我们要乘上 我们的那个点 旁边轮廓曲线上 一个无限小的长度， 我们要乘以它， 乘以这里的长度， 这样，你会说，好了， 我明白它在表示什么了， 但是，它怎样和物理相关呢？ 我们怎样才能对 这个表达式有个直观的理解呢？ 要考虑这个问题， 我总是在两个维度来观察它。 后面， 你需要在三个维度来考虑。 我们想象这是一个二维的宇宙，我们在研究气体， 我们所有的这些气体粒子都在一个二维宇宙中， 它们只有 x 和 y 坐标。 这个矢量场本质上 告诉你任何一点的的速度， 这是粒子在这一点的速度， 这是粒子在那一点的速度， 这是粒子在那一点的速度， 这样，当你在这条曲线上取 f ， 它就是这个点上粒子的速度， 它们向那个方向走， 如果你让它点乘 n ， 这就告诉你，在那个点直接向外的速度， 然后，你把它乘以 ds ， 你实际上是在说 在任何给定的时刻， 在曲线上的那一点， 这个曲线上的粒子离开这个曲线有多快？ 这样如果你把它们加在一起， 也就是这个积分所做的， 其实就是 这些粒子离开这个轮廓有多快。 如果你得到一个负值， 那它们是不是就是进入这个轮廓呢？ 因为单位法向量是指向外面， 它表示 它们离开这个轮廓有多快， 如果你得到一个负值， 它就说明，或许存在有些粒子进入。 这个表述是你采用这种比喻时的表述， 不是一定非要用这个物理表述。 粒子，或者说二维气体粒子 离开这个轮廓的速度有多快？ 以后，你可以在三维空间进行运算， 那时，你有一个表面，你可以说 “ 物体离开表面的速度有多快？” 我们开始做， 希望你们能够很好地理解 它所表达的概念。我们对它进行一些处理， 特别是，我们知道怎样定义一个法向量。 用我们已经学到的关于怎样构造一个法向量的知识， 来对它进行重写。 如果我们重写它，我们的积分就成为这个样子， 我们有矢量场 f ，它与法矢量点乘， 这个法矢量可以写成这样， 我们看到法矢量是 dy 乘以 i 减去 dx 乘以 j 。 然后，为了得到单位法矢量， 我们还要除以它的幅值， 它的幅值就在这里。 dx平方加上 dy平方， 它与 ds 相同，ds 就是这个很小的弧长。 它是我们的轮廓上无穷小的的一小段。 这样，我们要除以 ds， 我们要除以 ds。 然后我们还要乘以 ds ， 我们要乘以 ds， ds 是一个标量， 所以我们就能 在进行点乘之前乘以 ds 或者先乘以 ds 再做点乘。 这两项消掉了， 只剩下 f 点乘 这里这一项。 这里，我们有 f 的定义， 我们来做点乘。 我把线积分的符号再写一遍， 我们沿反时针方向， 在我们计算积分时，-- 我挑一种我没有用过的颜色， 我已经用过很多的颜色，我再用黄色吧。 现在，我们计算 f 点乘这一项。 点乘还是比较简单的。 求它们的 x 分量的乘积， 或者说 x 分量的幅值的积。 它就是 P(x,y)乘以 dy， 加上 y 分量的幅值的乘积， 或者说 j 分量的乘积， 它就是加上 Q(x,y)乘以 -dx， 乘以 负的 dx， 好，这样我们就有 -Q(x,y)乘以 dx， 这个表达式有点意思， 我们从前看到过与之相差不大的表达式， 那是在我们学习格林定理时看到的。 我把它写在这里，便于我们的记忆， 关于格林定理，它的定义， 它告诉我们，如果我们计算这个轮廓上的线积分， --它的写法有多种， 这是最常见的一种， 我们已经在我们的视频中探讨过，-- M乘以dx + N乘以 dy 就等于 这里，是对格林定理的重述。 它就等于 这个轮廓所包围的面积上的二重积分， 乘以 dy 的函数，不管是什么， 取它对 x 偏导， 求 N 对 x 的偏导， 然后，由它减去 dx 的部分， 就是 M 对 y 的偏导 然后，乘以 dx dy ,或者说 da ， 是指这个无穷小的小面积， 我在这里写上 da， 好， dx dy ，可以是 da， 我们也可以写成 da， 一般来说， da 就是一个无穷小的一块小面积， 这里，只是对于格林定理的复述， 我们已经知道这个定理， 这是对格林定理的复述， 我们怎样把它用在这里呢？ 这是同样的， 你看到有一点符号的不同，但你可以在这里应用格林定理。 它就等于 在这个轮廓所包围的区域的二重积分， 然后，我们要做的就是， 我们来看 任何乘以 dy 的函数， 在这里，它就是这个函数， 它和 dy 相乘， 我们要求它对 x 的偏导， 我们求P 对 x 的偏导， P 对 x 的偏导， 然后由它， 我们要减去另一个函数， 与 dx 相乘的函数， 求它对于 y 的偏导， 这里，我们来求整个这一项 对 y 的偏导， 但是我们这里有一个负号， 它就是 - Q 对 y 的偏导 然后我们有 da， 显然，这两个负号， 减去负的就是正的， 它就等于 这个区域的二重积分， 你可能已经看出它的趋势， 你可能有点兴奋了吧， P 对 x 的偏导 加上 Q 对 y 的偏导，da， 现在，我求偏导-- 好，这告诉我们什么？ 看看这里的表达式， P 原来是 定义x 方向的幅值的函数， Q 是 定义 y 方向的幅值函数， 我们对它求对 x 的偏导， 对它，我们求它对 y 的偏导， 然后相加， 这恰恰是 f 的散度， 如果你不明白， 去看关于散度的视频。 这就是 f 的散度， 这就是关于散度的定义。 这是 矢量场 f 的散度， 这样，我们得到一个有趣的结论， 这是原来的表述， 我们开始学习时，它是在说， 粒子离开这个表面的速度 是什么？ 现在我们得到了这个表述， 我们给它一个直观的解释， 一点点直观解释， 它就等于 f 的散度乘以 da， 在整个面积上的二重积分， 我们把所有的 f 的散度 乘以这个无穷小的小面积加起来， 我们在整个的这个区域把它们加在一起， 那么，为什么它有很直观的含义呢？ 你能意识到它为什么有直观的含义， 你需要回忆起散度是什么， 散度就是对物体 扩展或者说发散还是收缩的测量， 如果这里有一个点， 在它周围，粒子的运动是相互离开， 这里，你就会有正的散度， 如果有一个点，有时叫它 sync 那里所有的粒子在聚集， 或者在汇合，你就得到负的散度， 这就很说明问题了。 你在这里取任一无穷小的面积， 你取任一无穷小的面积， 把它乘上那里的散度， 散度越高， 你就得到更大的数值， 然后在整个区域，你把它们加在一起， 这就很说明问题。 在这个区域散度越高， 显然，就会有 更多的物质离开这个边界， 这就把它的完整含义讲清楚了， 或者说，它把完整含义讲得清楚一些了。 如果你要知道 物质离开这个表面的速度有多快，这就是二维通量， 物质离开这个表面的速度有多快， 你求出它们的和， 这和把在这个轮廓所包围的面积上 的散度加在一起 是相同的。 希望这能让你们对其概念有所理解。 它实际上是 考虑格林定理的另一种方式。 我们刚才揭示了这个表述， 在这个区域的散度的总和 和 f 点乘 n 在这个轮廓上的总和 是相同的。 本质上，它就是二维 散度定理。